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弗萊納公式

平面曲線上的亮點的切向量和法向量，以及標(biāo)架在運動過程中的旋轉(zhuǎn)。

記 r (t) 為歐式空間 R 中的曲線，表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。 弗萊納公式只適用于正則曲線，即速度向量 r ′(t)和加速度向量 r ′′(t)不為零的曲線。

記 s(t) 為 t 時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長：

由于假設(shè) r ′ ≠ 0，因此可以將 t 表示為 s 的函數(shù)，因此可將曲線表示為弧長 s 的函數(shù) r (s) = r ( t ( s ))。 s 通常也被稱為曲線的弧長參數(shù)。

對于由弧長參數(shù)定義的正則曲線 r ( s )， 弗萊納標(biāo)架 (或 弗萊納基底 )定義如下：

單位切向量 T ：

主法向量 N ：

副法向量 B 定義為 T 和 N 的外積：

螺旋線上弗萊納標(biāo)架的運動。藍色的箭頭表示切向量，紅色的箭頭表示法向量，黑色的箭頭表示副法向量。

由于 | T | = 1 , d ( T ? ? --> T ) d s = 2 T ? ? --> N = 0 , {\displaystyle |\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,} 所以 N 與 T 垂直。 方程 (3) 說明 B 垂直于 T 和 N ，因此向量 T ， N ， B 互相垂直。

弗萊納公式如下：

其中 κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。

弗萊納公式有時也被稱作 弗萊納定理 ，并且可以寫做矩陣的形式：

其中的矩陣是反對稱矩陣。

對弧長s求導(dǎo)，可以看成是對切方向的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

參閱

曲線仿射幾何

曲線微分幾何

達布標(biāo)架

運動學(xué)

參考資料

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