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定義項(xiàng)的遞歸定義一個變量或一個常量符號或f(t1,...,tn){\displaystylef(t_{1},...,t_{n})\,}，這里的f{\displaystylef\,}是一個n-元函數(shù)符號，而t1,...,tn{\displaystylet_{1},...,t_{n}\,}是項(xiàng)。公式的遞歸定義t1=t2{\displaystylet_{1}=t_{2}\,}，這里的t1{\displaystylet_{1}\,}和t2{\displaystylet_{2}\,}是項(xiàng)或R(t1,...,tn){\displaystyleR(t_{1},...,t_{n})\,}，這里的R{\displaystyleR\,}是一個n-元關(guān)系符號，而t1,...,tn{\displaystylet_{1},...,t_{n}\,}是項(xiàng)或(??-->φφ-->){\disp...

泰勒公式泰勒公式的初衷是用多項(xiàng)式來近似表示函數(shù)在某點(diǎn)周圍的情況。比如說，指數(shù)函數(shù)e在x=0的附近可以用以下多項(xiàng)式來近似地表示：稱為指數(shù)函數(shù)在0處的n階泰勒展開公式。這個公式只對0附近的x有用，x離0越遠(yuǎn)，這個公式就越不準(zhǔn)確。實(shí)際函數(shù)值和多項(xiàng)式的偏差稱為泰勒公式的余項(xiàng)。泰勒定理對于一般的函數(shù)，泰勒公式的系數(shù)的選擇依賴于函數(shù)在一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函數(shù)在一點(diǎn)附近的最佳線性近似：也就是說f(a+h)≈≈-->f(a)+f′′-->(a)h{\displaystylef(a+h)\approxf(a)+f^{\prime}(a)h}，或f(x)≈≈-->f(a)+f′′-->(a)(x??-->a){\displaystylef(x)\approxf(a)+f^{\prime}(a)(x-a)}。注意到f(x){\displaystylef(x)}和f(a)+...

歷史這個公式是亞伯拉罕·棣莫弗首先發(fā)現(xiàn)的，形式為：斯特靈證明了公式中c=2ππ-->{\displaystylec={\sqrt{2\pi}}}。更加精確的形式是雅克·比內(nèi)發(fā)現(xiàn)的。推導(dǎo)這個公式，以及誤差的估計(jì)，可以推導(dǎo)如下。我們不直接估計(jì)n!，而是考慮它的自然對數(shù)：即:這個方程的右面是積分∫∫-->1nln??-->(x)dx=nln??-->n??-->n+1{\displaystyle\int_{1}^{n}\ln(x)\,dx=n\lnn-n+1}的近似值（利用歐拉法麥克勞林它的誤差由歐拉-麥克勞林公式給出：其中Bk是伯努利數(shù)，Rm,n是歐拉-麥克勞林公式中的余項(xiàng)。取極限，可得：我們把這個極限記為y。由于歐拉-麥克勞林公式中的余項(xiàng)Rm,n滿足：其中我們用到了大O符號，與以上的方程結(jié)合，便得出對數(shù)形式的近似公式：兩邊取指數(shù)，并選擇任何正整數(shù)m，我們便得到了...

美國作家杰克·倫敦（1876―1916年）收到一位貴族小姐的求愛信：“親愛的杰克·倫敦，用你的美名加上我的高貴地位，再乘上萬能的黃金。足以使我們建立起一個天堂所不能比擬的美滿家庭。”杰克·倫敦在回信中說：“你列出的那道愛情公式，我看開平方才有意義，而我們兩個的心就是它們的平方根；可是很遺憾，這個平方根開出來的卻是負(fù)數(shù)。”

形式對于任意實(shí)數(shù)x{\displaystylex\,}，以下恒真：由此也可以推導(dǎo)出sin??-->x=eix??-->e??-->ix2i{\displaystyle\sinx={\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}及cos??-->x=eix+e??-->ix2{\displaystyle\cosx={\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}。當(dāng)x=ππ-->{\displa歐拉tylex=\pi\,}時，歐拉公式的特殊形式為eiππ-->+1=0{\displaystyle歐拉恒等式\pi}+1=0\,}。（參見歐拉恒等式）cis函數(shù)在復(fù)分析領(lǐng)域，歐拉公式亦可以以函數(shù)的形式表示并且一般定義域?yàn)棣圈?->∈∈-->R{\displaystyle\theta\in\mathbb{R}\,}，值域?yàn)棣圈?-&...