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形式

對于任意實數(shù)x{\displaystyle x\,}，以下恒真：

由此也可以推導出 sin? ? -->x=eix? ? -->e? ? -->ix2i{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}及cos? ? -->x=eix+e? ? -->ix2{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}。 當x=π π -->{\displa歐拉tyle x=\pi \,}時，歐拉公式的特殊形式為eiπ π -->+1=0{\displaystyle歐拉恒等式\pi }+1=0\,}。（參見歐拉恒等式）

cis函數(shù)

在復分析領(lǐng)域，歐拉公式亦可以以函數(shù)的形式表示

并且一般定義域為θ θ -->∈ ∈ -->R{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}，值域為θ θ -->∈ ∈ -->C{\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}（復平面上的所有單位向量）。

當一復數(shù)的模為1，其反函數(shù)就是輻角（arg函數(shù)）。

當θ θ -->{\displaystyle \theta }值為復數(shù)時，cis函數(shù)仍然是有效的，所以有些人可利用cis函數(shù)將歐拉公式推廣到更復雜的版本。

證明

對于所有x∈ ∈ -->I{\displaystyle x\in I}，定義函數(shù)f(x)=cos? ? -->x+isin? ? -->xeix{\displaystyle f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}}

由于eix? ? -->e? ? -->ix=e0=1{\displaystyle e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{0}=1}

可知eix{\displaystyle e^{ix}\,}不可能為0，因此以上定義成立。

f(x){\displaystyle f(x)\,}之導數(shù)為：

設(shè) [a,b]∈ ∈ -->I{\displaystyle [a,b]\in I} 和 c∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle c\in (a,b)}

因此f(x){\displaystyle f(x)\,}必是常數(shù)函數(shù)。

重新整理，即可得到：

找出一個函數(shù)，使得dydx=iy{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=iy}及f(0)=1{\displaystyle f(0)=1}

如果使用積分法，iy{\displaystyle iy}的原函數(shù)是以上兩個函數(shù)。

x=0{\displaystyle x=0} 時，原函數(shù)的值相等，所以以上兩個函數(shù)相等。

證明和角公式

由于eiα α -->=cos? ? -->α α -->+isin? ? -->α α -->{\displaystyle e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha }且eiβ β -->=cos? ? -->β β -->+isin? ? -->β β -->{\displaystyle e^{i\beta }=\cos \beta +i\sin \beta }，將兩式相乘，則

實部等于實部，虛部等于虛部，因此

在復變分析的應用

這公式可以說明當x{\displaystyle x}為實數(shù)時，函數(shù)eix{\displaystyle e^{ix}}可在復數(shù)平面描述一單位圓。且x{\displaystyle x}為此平面上一條連至原點的線與正實軸的交角。 先前一個在復平面的復點只能用笛卡爾坐標系描述，歐拉公式在此提供復點至極坐標的變換

任何復數(shù)z=x+yi{\displaystyle z=x+yi}皆可記為

在此

參見

cis函數(shù)

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