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定義

假設(shè)a{\displaystyle a}為一積性函數(shù)，則狄利克雷級(jí)數(shù)

等于歐拉乘積

其中，乘積對(duì)所有素?cái)?shù)p{\displaystyle p}進(jìn)行，P(p,s){\displaystyle P(p,s)}則可表示為

這可以看作形式母函數(shù)，形式歐拉乘積展開(kāi)的存在性與a(n){\displaystyle a(n)}為積性函數(shù)兩者互為充要條件。

a(n){\displaystyle a(n)}為完全積性函數(shù)時(shí)可得到一重要的特例。此時(shí)P(p,s){\displaystyle P(p,s)}為等比級(jí)數(shù)，有

當(dāng)a(n)=1{\displaystyle a(n)=1}時(shí)即為黎曼ζ函數(shù)，更一般的情形則是狄利克雷特征。

參考文獻(xiàn)

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