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萊布尼茲的發(fā)現(xiàn)

這個(gè)法則是萊布尼茲發(fā)現(xiàn)的，以下是他的證明：設(shè)u(x)和v(x)為x的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)。那么，uv的微分是：

由于du·dv可以忽略不計(jì)，因此有：

兩邊除以dx，便得：

或

例子

假設(shè)我們要求出f(x) = xsin(x)的導(dǎo)數(shù)。利用乘積法則，可得f"(x) = 2x sin(x) + xcos(x)（這是因?yàn)閤的導(dǎo)數(shù)是2x，sin(x)的導(dǎo)數(shù)是cos(x)）。

乘積法則的一個(gè)特例，是“常數(shù)因子法則”，也就是：如果c是實(shí)數(shù)，f(x)是可微函數(shù)，那么cf(x)也是可微的，其導(dǎo)數(shù)為(c × f)"(x) = c × f "(x)。

乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。

證明一：利用面積

假設(shè)

且f和g在x點(diǎn)可導(dǎo)。那么：

現(xiàn)在，以下的差

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個(gè)區(qū)域可以分割為兩個(gè)矩形，它們面積的和為：

因此，(1)的表達(dá)式等于：

如果(5)式中的四個(gè)極限都存在，則(4)的表達(dá)式等于：

現(xiàn)在：

因?yàn)楫?dāng)w → x時(shí)，f(x)不變；

因?yàn)間在x點(diǎn)可導(dǎo)；

因?yàn)閒在x點(diǎn)可導(dǎo)；以及

因?yàn)間在x點(diǎn)連續(xù)（可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)）。

現(xiàn)在可以得出結(jié)論，(5)的表達(dá)式等于：

證明二：使用對數(shù)

設(shè)f = uv，并假設(shè)u和v是正數(shù)。那么：

兩邊求導(dǎo)，得：

把等式的左邊乘以f，右邊乘以uv，即得：

證明三：使用導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè) h(x)=f(x)g(x),{\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}

且f和g在x點(diǎn)可導(dǎo)。那么：

h′(x)=limΔ Δ -->x→ → -->0h(x+Δ Δ -->x)? ? -->h(x)Δ Δ -->x=limΔ Δ -->x→ → -->0f(x+Δ Δ -->x)g(x+Δ Δ -->x)? ? -->f(x)g(x)Δ Δ -->x{\displaystyle h"(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}

推廣

若有n{\displaystyle n}個(gè)函數(shù)f1,f2,...,fn{\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}，則：

（萊布尼茲法則）若f,g{\displaystyle f,g}均為可導(dǎo)n{\displaystyle n}次的函數(shù)，則fg{\displaystyle fg}的n{\displaystyle n}次導(dǎo)數(shù)為：

其中(nk){\displaystyle {n \choose k}}是二項(xiàng)式系數(shù)。

應(yīng)用

乘積法則的一個(gè)應(yīng)用是證明以下公式：

其中n是一個(gè)正整數(shù)（該公式即使當(dāng)n不是正整數(shù)時(shí)也是成立的，但證明需要用到其它方法）。我們用數(shù)學(xué)歸納法來證明這個(gè)公式。如果n = 1，ddxx1=limh→ → -->0(x+h)? ? -->xh=1=1x1? ? -->1{\displaystyle {\frac lhrfnfu{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}}

假設(shè)公式對于某個(gè)特定的k成立，那么對于k + 1，我們有：

因此公式對于k + 1也成立。

參見

除法定則

倒數(shù)定則

鏈?zhǔn)椒▌t

分部積分法

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