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歷史

這個(gè)公式是亞伯拉罕·棣莫弗首先發(fā)現(xiàn)的，形式為：

斯特靈證明了公式中c=2π π -->{\displaystyle c={\sqrt {2\pi }}}。更加精確的形式是雅克·比內(nèi)發(fā)現(xiàn)的。

推導(dǎo)

這個(gè)公式，以及誤差的估計(jì)，可以推導(dǎo)如下。我們不直接估計(jì)n!，而是考慮它的自然對(duì)數(shù)：

即:

這個(gè)方程的右面是積分∫ ∫ -->1nln? ? -->(x)dx=nln? ? -->n? ? -->n+1{\displaystyle \int _{1}^{n}\ln(x)\,dx=n\ln n-n+1}的近似值（利用歐拉法麥克勞林它的誤差由歐拉-麥克勞林公式給出：

其中Bk是伯努利數(shù)，Rm,n是歐拉-麥克勞林公式中的余項(xiàng)。取極限，可得：

我們把這個(gè)極限記為y。由于歐拉-麥克勞林公式中的余項(xiàng)Rm,n滿足：

其中我們用到了大O符號(hào)，與以上的方程結(jié)合，便得出對(duì)數(shù)形式的近似公式：

兩邊取指數(shù)，并選擇任何正整數(shù)m，我們便得到了一個(gè)含有未知數(shù)e的公式。當(dāng)m=1時(shí)，公式為：

將上述表達(dá)式代入沃利斯乘積公式，并令n趨于無(wú)窮，便可以得出e（ey=2π π -->{\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}）。因此，我們便得出斯特靈公式：

這個(gè)公式也可以反復(fù)使用分部積分法來(lái)得出，首項(xiàng)可以通過(guò)最速下降法得到。把以下的和

用積分近似代替，可以得出不含2π π -->n{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}}的因子的斯特靈公式（這個(gè)因子通常在實(shí)際應(yīng)用中無(wú)關(guān)）：

收斂速率和誤差估計(jì)

y軸表示截?cái)嗟乃固仂`級(jí)數(shù)的相對(duì)誤差，x軸表示所使用的項(xiàng)數(shù)。

更加精確的近似公式為：

其中：

斯特靈公式實(shí)際上是以下級(jí)數(shù)（現(xiàn)在稱為斯特靈級(jí)數(shù)）的第一個(gè)近似值：

當(dāng)n→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle n\to \infty }時(shí)，截?cái)嗉?jí)數(shù)的誤差等于第一個(gè)省略掉的項(xiàng)。這是漸近展開(kāi)式的一個(gè)例子。它不是一個(gè)收斂級(jí)數(shù)；對(duì)于任何特殊值n，級(jí)數(shù)的準(zhǔn)確性只在取有限個(gè)項(xiàng)時(shí)達(dá)到最大，如果再取更多的項(xiàng)，則準(zhǔn)確性將變得越來(lái)越差。

階乘的對(duì)數(shù)的漸近展開(kāi)式也稱為斯特靈級(jí)數(shù)：

在這種情況下，級(jí)數(shù)的誤差總是與第一個(gè)省略掉的項(xiàng)異號(hào)，且最多同大小。

伽瑪函數(shù)的斯特靈公式

對(duì)于所有正整數(shù)，有：

然而，伽瑪函數(shù)與階乘不一樣，它對(duì)于所有復(fù)數(shù)都有定義。盡管如此，斯特靈公式仍然適用。如果? ? -->(z)>0{\displaystyle \Re (z)>0}，那么：

反復(fù)使用分部積分法，可得以下漸近展開(kāi)式：

其中Bn是第n個(gè)伯努利數(shù)。當(dāng)|arg? ? -->z|? ? -->? ? -->{\displaystyle |\arg z| ，其中ε是正數(shù)時(shí)，這個(gè)公式對(duì)于絕對(duì)值足夠大的z是適用的，當(dāng)使用了最初m個(gè)項(xiàng)時(shí)，誤差項(xiàng)為O(z? ? -->m? ? -->12){\displaystyle O\left(z^{-m-{\frac {1}{2}}}\right)}。對(duì)應(yīng)的近似值可以寫(xiě)為：

斯特靈公式的收斂形式

欲得出斯特靈公式的一個(gè)收斂形式，我們必須計(jì)算：

一種方法是利用含有上升階乘冪的級(jí)數(shù)。如果znˉ ˉ -->=z(z+1)? ? -->(z+n? ? -->1){\displaystyle z^{\overline {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)}，那么：

其中：

從中可以得出斯特靈級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂形式：

它在? ? -->(z)>0{\displaystyle \Re (z)>0}時(shí)收斂。

適用于計(jì)算器的形式

以下的近似值

或

可以通過(guò)把斯特靈公式整理，并注意到它的冪級(jí)數(shù)與雙曲正弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的相似性來(lái)得出。當(dāng)z的實(shí)數(shù)部分大于8時(shí)，這個(gè)近似值精確到小數(shù)點(diǎn)后8位。2002年，Robert H. Windschitl建議計(jì)算器用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算伽瑪函數(shù)。

Gerg? Nemes在2007年提出了一個(gè)近似公式，它的精確度與Windschitl的公式相等，但更加簡(jiǎn)單：

或

參考文獻(xiàn)

Abramowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions,

Paris, R. B., and Kaminsky, D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001

Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3

Toth, V. T. Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function., modified 2006

MathWorld上Stirling"s Approximation的資料，作者：埃里克·韋斯坦因。

Stirling"s approximation atPlanetMath.

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