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泰勒公式

泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函數(shù)在某點周圍的情況。比如說，指數(shù)函數(shù)e 在x = 0 的附近可以用以下多項式來近似地表示：

稱為指數(shù)函數(shù)在0處的n階泰勒展開公式。這個公式只對0附近的x 有用，x 離0 越遠，這個公式就越不準確。實際函數(shù)值和多項式的偏差稱為泰勒公式的余項。

泰勒定理

對于一般的函數(shù)，泰勒公式的系數(shù)的選擇依賴于函數(shù)在一點的各階導(dǎo)數(shù)值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函數(shù)在一點附近的最佳線性近似：

也就是說f(a+h)≈ ≈ -->f(a)+f′ ′ -->(a)h{\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h}，或f(x)≈ ≈ -->f(a)+f′ ′ -->(a)(x? ? -->a){\displaystyle f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}。

注意到f(x){\displaystyle f(x)} 和f(a)+f′ ′ -->(a)(x? ? -->a){\displaystyle f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)} 在a 處的零階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)都相同。對足夠光滑的函數(shù)，如果一個多項式在a 處的前n 次導(dǎo)數(shù)值都與函數(shù)在a 處的前n 次導(dǎo)數(shù)值重合，那么這個多項式應(yīng)該能很好地近似描述函數(shù)在a 附近的情況。以下定理說明這是正確的：

定理：設(shè) n 是一個正整數(shù)。如果定義在一個包含 a 的區(qū)間上的函數(shù) f 在 a 點處 n+1 次可導(dǎo)，那么對于這個區(qū)間上的任意 x，都有：f(x)=f(a)+f′(a)1!(x? ? -->a)+f(2)(a)2!(x? ? -->a)2+? ? -->+f(n)(a)n!(x? ? -->a)n+Rn(x).{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f"(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x).}其中的多項式稱為函數(shù)在a 處的泰勒展開式，剩余的Rn(x){\displaystyle R_{n}(x)} 是泰勒公式的余項，是(x? ? -->a)n{\displaystyle (x-a)^{n}} 的高階無窮小。

Rn(x){\displaystyle R_{n}(x)} 的表達形式有若干種，分別以不同的數(shù)學(xué)家命名。

帶有皮亞諾型余項的泰勒公式說明了多項式和函數(shù)的接近程度：

f(x)=f(a)+f′(a)1!(x? ? -->a)+f(2)(a)2!(x? ? -->a)2+? ? -->+f(n)(a)n!(x? ? -->a)n+o[(x? ? -->a)n]{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f"(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+o[(x-a)^{n}]}

也就是說，當(dāng)x 無限趨近a 時，余項Rn(x){\displaystyle R_{n}(x)} 將會是(x? ? -->a)n{\displaystyle (x-a)^{n}} 的高階無窮小，或者說多項式和函數(shù)的誤差將遠小于(x? ? -->a)n{\displaystyle (x-a)^{n}}。這個結(jié)論可以由下面更強的結(jié)論推出。

帶有拉格朗日型余項的泰勒公式可以視為拉格朗日微分中值定理的推廣：

f(x)=f(a)+f′(a)1!(x? ? -->a)+f(2)(a)2!(x? ? -->a)2+? ? -->+f(n)(a)n!(x? ? -->a)n+f(n+1)(θ θ -->)(n+1)!(x? ? -->a)(n+1){\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f"(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}(x-a)^{(n+1)}}

即Rn(x)=f(n+1)(θ θ -->)(n+1)!(x? ? -->a)(n+1){\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}(x-a)^{(n+1)}}，其中θ θ -->∈ ∈ -->(a,x){\displaystyle \theta \in (a,x)}。

帶有積分型余項的泰勒公式可以看做微積分基本定理的推廣：

余項估計

拉格朗日型余項或積分型余項可以幫助估計泰勒展開式和函數(shù)在一定區(qū)間之內(nèi)的誤差。設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a ? r, a + r] 上n 次連續(xù)可微并且在區(qū)間(a ? r, a + r) 上n + 1 次可導(dǎo)。如果存在正實數(shù)Mn 使得區(qū)間(a ? r, a + r) 里的任意x 都有 |f(n+1)(x)|≤ ≤ -->Mn{\displaystyle |f^{(n+1)}(x)|\leq M_{n}}，那么：

f(x)=f(a)+f′(a)1!(x? ? -->a)+f(2)(a)2!(x? ? -->a)2+? ? -->+f(n)(a)n!(x? ? -->a)n+Rn(x),{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f"(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}(x),}

其中|Rn(x)|≤ ≤ -->Mnrn+1(n+1)!{\displaystyle |R_{n}(x)|\leq M_{n}{\frac {r^{n+1}}{(n+1)!}}}。這個上界估計對區(qū)間(a ? r, a + r) 里的任意x 都成立，是一個一致估計。

如果當(dāng)n 趨向于無窮大時，還有Mnrn+1(n+1)!→ → -->0{\displaystyle M_{n}{\frac {r^{n+1}}{(n+1)!}}\rightarrow 0}，那么可以推出 Rn(x)→ → -->0{\displaystyle R_{n}(x)\rightarrow 0}，f 是區(qū)間(a ? r, a + r) 上解析函數(shù)。f 在區(qū)間(a ? r, a + r) 上任一點的值都等于在這一點的泰勒展開式的極限。

多元泰勒公式

對于多元函數(shù)，也有類似的泰勒公式。設(shè)B(a, r ) 是歐幾里得空間R 中的開球，? 是定義在B(a, r ) 的閉包上的實值函數(shù)，并在每一點都存在所有的n+1 次偏導(dǎo)數(shù)。這時的泰勒公式為：

其中的余項也滿足不等式：

特別地，多元形式的泰勒公式可表示為：

在應(yīng)用上述公式時，特別重要的是展開式的前三項，即：

參閱

泰勒級數(shù)

拉格朗日型余項

佩亞諾型余項

麥克勞林公式

參考來源

Apostol, Tom. 《微積分學(xué)》（Calculus）. Jon Wiley & Sons, Inc. 1967. ISBN 0-471-00005-1. 

Klein, Morris. 《微積分學(xué)：直觀物理方法》(Calculus: An Intuitive and Physical Approach). Dover. 1998. ISBN 0-486-40453-6. 

Walter Rudin. 《數(shù)學(xué)分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8. 

清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系微積分編寫組. 《微積分(Ⅱ)》. 清華大學(xué)出版社. 2000. ISBN 7-302-06917-4. 

Murray H. Protter,Charles Bradfield Morrey. 《中等微積分》(Intermediate calculus). Springer. 1986. ISBN 978-0-387-96058-6. 

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