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歷史

同構(gòu)基本定理最早由埃米·諾特（Emmy Noether）在她于1927在德國(guó)數(shù)學(xué)期刊 數(shù)學(xué)分析 （Mathematische Annalen）發(fā)表的論文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenk?rpern 中明確闡述。

群同態(tài)基本定理

我們首先敘述群論中的同態(tài)基本定理，他們的形式相對(duì)簡(jiǎn)單，卻表達(dá)了商群的重要性質(zhì)。定理的敘述中用到了關(guān)于正規(guī)子群的等價(jià)類(lèi)概念。

群同構(gòu)基本定理

群同構(gòu)第一定理

給定一個(gè)群同態(tài) f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\to G"} ，根據(jù)群同態(tài)第一基本定理，我們可以把 G {\displaystyle G} 除以 G {\displaystyle G} 的核，使 f {\displaystyle f} 變成單射。

直觀來(lái)講，把一個(gè)群 G {\displaystyle G} 除以 G {\displaystyle G} 的子群 H {\displaystyle H} 相當(dāng)于把 H {\displaystyle H} 里的元素看成0。把 f {\displaystyle f} 的核除掉后，我們使得 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 只在 x = 0 {\displaystyle x=0} 時(shí)才會(huì)成立，這是 f {\displaystyle f} 的單射性的等價(jià)敘述。

我們必須先確定商群具有群的結(jié)構(gòu)，才可以對(duì) G / Ker ? ? --> f → → --> G ′ {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G"} 進(jìn)行討論。

定理： 給定 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G"} 兩個(gè)群，和 f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G"} 群同態(tài)。則 Ker ? ? --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是一個(gè) G {\displaystyle G} 的正規(guī)子群。

證明： 記 ? ? --> {\displaystyle \cdot } 為 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G"} 的運(yùn)算符號(hào)，記 e {\displaystyle e} 和 e ′ {\displaystyle e"} 他們的單位元，我們可以驗(yàn)證 Ker ? ? --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 在共軛運(yùn)算下封閉，即對(duì)于所有 x ∈ ∈ --> G {\displaystyle x\in G} 、所有 h ∈ ∈ --> Ker ? ? --> f {\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f} ，有 x ? ? --> h ? ? --> x ? ? --> 1 ∈ ∈ --> Ker ? ? --> f {\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f} 。

我們有 f ( x ? ? --> h ? ? --> x ? ? --> 1 ) = f ( x ) ? ? --> f ( h ) ? ? --> f ( x ? ? --> 1 ) {\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})} 。由于 h {\displaystyle h} 在 Ker ? ? --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 里面，即 f ( h ) = e ′ {\displaystyle f(h)=e"} ，我們推論 f ( x ? ? --> h ? ? --> x ? ? --> 1 ) = f ( x ) ? ? --> f ( x ? ? --> 1 ) = f ( x ? ? --> x ? ? --> 1 ) = f ( e ) = e ′ {\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e"} 。因此， x ? ? --> h ? ? --> x ? ? --> 1 {\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}} 在 Ker ? ? --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 里面，故 Ker ? ? --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是 G {\displaystyle G} 的正規(guī)子群。

Ker ? ? --> f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是 G {\displaystyle G} 的正規(guī)子群的這個(gè)性質(zhì)讓我們可以在商群 G / Ker ? ? --> f {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f} 上定義一個(gè)與 G {\displaystyle G} 的運(yùn)算規(guī)則相容的運(yùn)算規(guī)則。因?yàn)橄嗳菪缘木壒?，群同態(tài) f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G"} 誘導(dǎo)出群同構(gòu) f ^ ^ --> : G / Ker ? ? --> f → → --> Im ? ? --> f {\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f} 。

我們有以下的定理：

群同構(gòu)第一定理 給定 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G"} 兩個(gè)群， f : G → → --> G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G"} 群同態(tài)，則 f {\displaystyle f} 誘導(dǎo)出一個(gè)從 G / Ker ? ? --> f {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f} 打到 f ( G ) {\displaystyle f(G)} 的群同構(gòu)。

證明： 記 H {\displaystyle H} 為 f {\displaystyle f} 的核。我們定義 f ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {f}}} 為 f ^ ^ --> ( x H ) = f ( x ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)} .

函數(shù) f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}定義良好義良好，即 f ^ ^ --> ( x H ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)} 只依賴于 x H {\displaystyle xH} 而與代表 x {\displaystyle x} 的選擇無(wú)關(guān)。理由是，若 y ∈ ∈ --> G {\displaystyle y\in G} 是 x H {\displaystyle xH} 的一個(gè)代表，即若 x H = y H {\displaystyle xH=yH} ，則 x y ? ? --> 1 ∈ ∈ --> H = Ker ? ? --> f {\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f} ，所以 f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)} ，從而 f ^ ^ --> ( x H ) = f ^ ^ --> ( y H ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)} 。

由商群運(yùn)算的定義， f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 是一個(gè)群同態(tài)。

群同態(tài) f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 滿射：對(duì)于所有 y ∈ ∈ --> f ( G ) {\displaystyle y\in f(G)} ，存在 x ∈ ∈ --> G {\displaystyle x\in G} 使得 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} ，由此 f ^ ^ --> ( x H ) = f ( x ) = y {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y} 。

群同態(tài) f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 單射。理由是：考慮 f ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {f}}} 的核里的任意元素 x H {\displaystyle xH} ，則 e ′ = f ^ ^ --> ( x H ) = f ( x ) {\displaystyle e"={\widehat {f}}(xH)=f(x)} ，即 x {\displaystyle x} 在 f {\displaystyle f} 的核 H {\displaystyle H} 里面。又 x H = H {\displaystyle xH=H} 是 G / H {\displaystyle G/H} 的單位元。

這個(gè)定理也可以想成是一個(gè)單射與一個(gè)滿射的復(fù)合，以下為示意圖

交換圖

群同構(gòu)第二定理

群同構(gòu)第二定理： 給定群 G {\displaystyle G} 、其正規(guī)子群 N {\displaystyle N} 、其子群 H {\displaystyle H} ，則 N ∩ ∩ --> H {\displaystyle N\cap H} 是 H {\displaystyle H} 的正規(guī)子群，且我們有群同構(gòu)如下： H / ( H ∩ ∩ --> N ) ? ? --> H N / N {\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N}

證明：

必須先證明 H N {\displaystyle HN} 是一個(gè)正規(guī)子群、 H {\displaystyle H} 是一個(gè)子群才能討論商群 H N / N {\displaystyle HN/N} 。

設(shè) h n {\displaystyle hn} 和 h ′ n ′ {\displaystyle h"n"} 為 H N {\displaystyle HN} 中的兩個(gè)元素。我們有 h n h ′ n ′ = h h ′ ( h ′ ? ? --> 1 n h ′ ) n ′ {\displaystyle hnh"n"=hh"(h"^{-1}nh")n"} ，其中 h h ′ ∈ ∈ --> H {\displaystyle hh"\in H} , h ′ ? ? --> 1 n h ′ ∈ ∈ --> N {\displaystyle h"^{-1}nh"\in N} (因?yàn)?N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正規(guī)) 且 n ′ ∈ ∈ --> N {\displaystyle n"\in N} ，故 h n h ′ n ′ {\displaystyle hnh"n"} 在 H N {\displaystyle HN} 中，其證明了 H N {\displaystyle HN} 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及逆元的封閉性。

此外，我們有 N ? ? --> H N ? ? --> G {\displaystyle N\subset HN\subset G} 的包含關(guān)系，并且 N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正規(guī)，所以也在 H N {\displaystyle HN} 中正規(guī)。

為了建構(gòu)群同構(gòu)，我們將使用群同構(gòu)第一定理。

取 j : H ? ? --> H N {\displaystyle j:H\hookrightarrow HN} 單射群同態(tài)，定義為 j ( h ) = h {\displaystyle j(h)=h} ，取標(biāo)準(zhǔn)滿射 σ σ --> : H N ? ? --> H N / N {\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N} (值域是個(gè)群，因?yàn)?N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正規(guī))。借由復(fù)合兩個(gè)群同態(tài)，我們建構(gòu)出一個(gè)新的群同態(tài) f = σ σ --> ° ° --> j : H → → --> H N / N {\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N} 定義為 f ( h ) = h N {\displaystyle f(h)=hN} 。

群同態(tài) f {\displaystyle f} 是滿射。

理由是，設(shè) ( h n ) N ∈ ∈ --> H N / N {\displaystyle (hn)N\in HN/N} ，其中 h ∈ ∈ --> H {\displaystyle h\in H} 且 n ∈ ∈ --> N {\displaystyle n\in N} 。由于 n {\displaystyle n} 在 N {\displaystyle N} 里面， h n N = h N {\displaystyle hnN=hN} ，故 h n N = f ( h ) {\displaystyle hnN=f(h)} 。

f {\displaystyle f} 的核是 H ∩ ∩ --> N {\displaystyle H\cap N} 。

理由是， f ( h ) = h N {\displaystyle f(h)=hN} 是 H N / N {\displaystyle HN/N} 的單位元，即 N {\displaystyle N} 當(dāng)且僅當(dāng)， h {\displaystyle h} 在 N {\displaystyle N} 里面。由于 h {\displaystyle h} 已經(jīng)在 H {\displaystyle H} 里面，所以證明這個(gè)相當(dāng)于證明 h {\displaystyle h} 在 N ∩ ∩ --> H {\displaystyle N\cap H} 里面。

由群同構(gòu)第一定理知 N ∩ ∩ --> H {\displaystyle N\cap H} 是 H {\displaystyle H} 的正規(guī)子群，且其誘導(dǎo)出的映射 f ^ ^ --> : H / ( N ∩ ∩ --> H ) → → --> H N / N {\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N} 是群同構(gòu)。

如果我們?nèi)趸疤?，假設(shè) N {\displaystyle N} 的正規(guī)化子包含 H {\displaystyle H} (把相等改成包含)這個(gè)定理依然正確。

群同構(gòu)第三定理

群同構(gòu)第三定理： 給定群 G {\displaystyle G} ， N {\displaystyle N} 和 M {\displaystyle M} 為 G {\displaystyle G} 的正規(guī)子群，滿足 M {\displaystyle M} 包含于 N {\displaystyle N} ，則 N / M {\displaystyle N/M} 是 G / M {\displaystyle G/M} 的正規(guī)子群，且有如下的群同構(gòu)： ( G / M ) / ( N / M ) ? ? --> G / N . {\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}

證明： G / M → → --> G / N , g M ? ? --> ( g M ) N = g ( M N ) = g N {\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN} 為滿射，其核為 N / M {\displaystyle N/M}

環(huán)和模上的形式

將定理中的“群”換為“ R -模”，將“正規(guī)子群”換為“子?！保偷玫綄?duì)于確定的環(huán) R 上的模的同構(gòu)基本定理，（因此同構(gòu)基本定理對(duì)于確定的域上的向量空間也成立）對(duì)于向量空間，同構(gòu)第一基本定理即是秩-零化度定理。

將定理中的“群”換為“環(huán)”，“子群”換為“子環(huán)”，“正規(guī)子群”換為“理想”，“商群”換為“商環(huán)”就得到環(huán)的同構(gòu)基本定理。

與子群的乘積 HK 相對(duì)應(yīng)的定義是子模，子環(huán)，子空間的并，用 H + K 而不再用 HK 表示。具體的定義是：

推廣

在泛代數(shù)中，正規(guī)子群被推廣為更廣泛的共軛類(lèi)的概念。

第一同構(gòu)定理

設(shè) A 和 B 是兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)， f 是 A 到 B 的態(tài)射，則 A 等價(jià)關(guān)系 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } ： a~b 當(dāng)且僅當(dāng) f(a)=f(b) 是 A 上的一個(gè)同余類(lèi)，并且 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同構(gòu)于 f 的像（ B 的子代數(shù)）。

第二同構(gòu)定理

設(shè) B 是 A 的子代數(shù)， Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 是 A 上的同余類(lèi)。令[B] Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 是所有包含 B 種元素的同余類(lèi)的集合，它是 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 的一個(gè)子集； Φ Φ --> B {\displaystyle \Phi _{B}} 是 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 限制在 B × B 上的部分。那么[B] Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 是 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 的子代數(shù)結(jié)構(gòu)， Φ Φ --> B {\displaystyle \Phi _{B}} 是 B 上的同余類(lèi)，并且[B] Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同構(gòu)于 B/ Φ Φ --> B {\displaystyle \Phi _{B}} 。

第三同構(gòu)定理

設(shè) A 是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)， Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 和 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 是 A 上的兩個(gè)同余關(guān)系， Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 包含于 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 。則 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 定義了 A/ Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 上的一個(gè)同余類(lèi) Θ Θ --> {\displaystyle \Theta } ： [a]~[b] 當(dāng)且僅當(dāng) a 與 b 關(guān)于 Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同余（ [a] 表示 a 所在的 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } -等價(jià)類(lèi)），并且 A/ Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } 同構(gòu)于 (A/ Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } )/ Θ Θ --> {\displaystyle \Theta } 。

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