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正式表述

微積分基本定理（FTC）有兩個(gè)部分，第一部分是關(guān)于原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二部分描述了原函數(shù)和定積分之間的關(guān)系。

第一部分 / 第一基本定理

設(shè) a , b ∈ ∈ --> R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } ，設(shè) f : [ a , b ] ? ? --> R {\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R黎曼} 為黎曼可積的函數(shù)，定義

如果 f 在[a,b]連續(xù)，則

F 在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)

? ? --> x ∈ ∈ --> ( a , b ) F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in (a,b)\quad F"(x)=f(x)}

如果 G 是 f 的原函數(shù)，則 G ? ? --> F {\displaystyle G-F} 是一個(gè)常數(shù)

第二部分 / 第二基本定理

設(shè) a , b ∈ ∈ --> R a R {\displaystyle f,F:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} } ，滿足

F 連續(xù)

f 是 F 的導(dǎo)函數(shù)，即 ? ? --> x ∈ ∈ --> ( a , b ) F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in (a,b)\quad F"(x)=f(x)}

那么，若 f 黎曼可積(例如 f 連續(xù))，則我們有

證明

第一部分

假設(shè)有

設(shè) x 1 和 x 1 + Δ x 為區(qū)間[ a , b ]中的兩個(gè)數(shù)。我們有

和

兩式相減，得

可以證明

整理，得

把上式代入(1)，得

根據(jù)積分第一中值定理，在區(qū)間( x 1 , x 1 + Δ x )存在一個(gè) c ，使得

把上式代入(2)，得

兩邊除以Δ x ，得

兩邊取Δ x → 0的極限，

左邊的表達(dá)式是 F 在 x 1 處的導(dǎo)數(shù)的定義。

我們用夾擠定理來求另一個(gè)極限。 c 在區(qū)間[ x 1 , x 1 + Δ x ]內(nèi)，因此 x 1 ≤ c ≤ x 1 + Δ x 。

另外 lim Δ Δ --> x → → --> 0 x 1 = x 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}} and lim Δ Δ --> x → → --> 0 x 1 + Δ Δ --> x = x 1 . {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}\,.}

所以，根據(jù)夾擠定理，

代入(3)，可得

函數(shù) f 在 c 處連續(xù)，所以極限可以在函數(shù)里面進(jìn)行。因此，我們有

證明完畢。

第二部分

設(shè) f 在區(qū)間[ a , b ]上連續(xù)，并設(shè) F 為 f 的原函數(shù)。我們從以下表達(dá)式開始

設(shè)有數(shù)

使得

可得

我們加上 F ( x i )及其相反數(shù)，這樣等式仍成立：

以上表達(dá)式可用以下的和表示：

我們將使用均值定理。就是：

設(shè) F 在閉區(qū)間[ a , b ]連續(xù)，在開區(qū)間( a , b )可導(dǎo)，則開區(qū)間( a , b )內(nèi)一定存在 c 使得

可得

函數(shù) F 在區(qū)間[ a , b ]可導(dǎo)，所以在每一個(gè)區(qū)間 x i -1 也是可導(dǎo)和連續(xù)的。因此，根據(jù)介值定理，

把上式代入(1)，得

根據(jù)第一部分的結(jié)論，我們有 F ′ ( c i ) = f ( c i ) {\displaystyle F"(c_{i})=f(c_{i})} 。另外， x i ? ? --> x i ? ? --> 1 {\displaystyle x_{i}-x_{i-1}} 可表示為第 i {\displaystyle i} 個(gè)小區(qū)間的 Δ Δ --> x {\displaystyle \Delta x} 。

一個(gè)黎曼和的收斂數(shù)列。右上角的數(shù)是灰色矩形的面積。它們收斂于函數(shù)的積分。

注意到我們正在描述矩形的面積（長度乘以寬度），并把這些面積相加起來。每一個(gè)矩形都描述了一部分曲線的估計(jì)。同時(shí)也注意到， Δ Δ --> x i {\displaystyle \Delta x_{i}} 并不需要對于任何 i {\displaystyle i} 都是相同的，換句話說，矩形的長度可以變化。我們要做的，是要用 n {\displaystyle n} 個(gè)矩形來近似代替曲線?，F(xiàn)在，當(dāng)n增加而每一個(gè)矩形越來越小時(shí)，它的面積就越來越接近曲線的真實(shí)面積。

當(dāng)矩形的寬度趨近于零時(shí)取極限，便得出黎曼積分。也就是說，我們?nèi)∽顚挼木匦乌呌诹?，而矩形的?shù)目趨于無窮大時(shí)的極限。

所以，我們把(2)式的兩邊取極限，得

F ( b )和 F ( a )都不依賴于||Δ||，所以左面的極限仍然是 F ( b ) - F ( a )。

右邊的表達(dá)式定義了 f 從 a 到 b 的積分。這樣，我們有

證明完畢。

例子

計(jì)算以下積分：

在這里， f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} ， F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={x^{3} \over 3}} 是一個(gè)原函數(shù)。因此：

推廣

我們不需要假設(shè) f 在整個(gè)區(qū)間是連續(xù)的。這樣定理的第一部分便說明：如果 f 是區(qū)間[ a , b ]內(nèi)的任何一個(gè)勒貝格可積的函數(shù)， x 0 是[ a , b ]內(nèi)的一個(gè)數(shù)，使得 f 在 x 0 連續(xù)，則

在 x = x 0 是可導(dǎo)的，且 F" ( x 0 ) = f ( x 0 )。我們可以把 f 的條件進(jìn)一步降低，假設(shè)它僅僅是可積的。這種情況下，我們便得出結(jié)論： F 幾乎處處可導(dǎo)，且 F" ( x )幾乎處處等于 f ( x )。這有時(shí)稱為 勒貝格微分定理 。

定理的第一部分對于任何具有原函數(shù) F 的勒貝格可積函數(shù) f 都是正確的（不是所有可積的函數(shù)都有原函數(shù)）。

泰勒定理中把誤差項(xiàng)表示成一個(gè)積分的形式，可以視為微積分基本定理的一個(gè)推廣。

對于復(fù)數(shù)函數(shù)，也有一個(gè)類似的形式：假設(shè) U 是 C 的一個(gè)開集， f : U → C 是一個(gè)在 U 處具有全純原函數(shù) F 的函數(shù)。那么對于所有曲線γ: [ a , b ] → U ，曲線積分可以用下式來計(jì)算：

微積分基本定理可以推廣到多維空間的曲線和曲面積分，也可以推廣到流形。

這個(gè)方向上的一個(gè)有力的表述是斯托克斯定理：設(shè) M 為一個(gè)可定向分段光滑 n 維流形，并設(shè) ω ω --> {\displaystyle \omega } 為 n ?1階 M 上的C 類緊支撐微分形式。如果? M 表示 M邊界的邊界，并以 M 的方向誘導(dǎo)的方向?yàn)檫吔绲姆较颍瑒t

這里 d {\displaystyle \mathrm xc613zb \!\,} 是外導(dǎo)數(shù)，它僅僅用流形的結(jié)構(gòu)來定義。斯托克斯定理將德拉姆上同調(diào)和奇異鏈的同調(diào)聯(lián)系起來。

參看

極限

微分

積分

參考文獻(xiàn)

Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable . 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.

Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable . 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.

Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).

Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals . Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.

Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)

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