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證明

所有的證明都包含了一些數(shù)學(xué)分析，至少是實數(shù)或復(fù)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性概念。有些證明也用到了可微函數(shù)，甚至是解析函數(shù)。

定理的某些證明僅僅證明了任何實系數(shù)多項式都有復(fù)數(shù)根。這足以推出定理的一般形式，這是因為，給定復(fù)系數(shù)多項式 p ( z )，以下的多項式

就是一個實系數(shù)多項式，如果 z 是 q ( z )的根，那么 z 或它的共軛復(fù)數(shù)就是 p ( z )的根。

許多非代數(shù)證明都用到了“增長引理”：當(dāng)| z |足夠大時，首系數(shù)為1的 n 次多項式函數(shù) p ( z )的表現(xiàn)如同 z 。一個更確切的表述是：存在某個正實數(shù) R ，使得當(dāng)| z | > R 時，就有：

復(fù)分析證明

證明一

尋找一個中心為原點，半徑為 r 的閉圓盤 D ，使得當(dāng)| z | ≥ r 時，就有| p ( z )| > | p (0)|。因此，| p ( z )|在 D 內(nèi)的最小值（一定存在，因為 D 是緊致的），是在 D 的內(nèi)部的某個點 z 0 取得，但不能在邊界上取得。于是，根據(jù)最小模原理， p ( z 0 ) = 0。也就是說， z 0 是 p ( z )的一個零點（根）。

證明二

由于在 D 之外，有| p ( z )| > | p (0)|，因此在整個復(fù)平面上，| p ( z )|的最小值在 z 0 取得。如果| p ( z 0 )| > 0，那么1/ p 在整個復(fù)平面上是有界的全純函數(shù)，這是因為對于每一個復(fù)數(shù) z ，都有|1/ p ( z )| ≤ |1/ p ( z 0 )|。利用劉維爾定理（有界的整函數(shù)一定是常數(shù)），可知1/ p 是常數(shù)，因此 p 是常數(shù)。于是得出矛盾，所以 p ( z 0 ) = 0。

證明三

這個證明用到了輻角原理。設(shè) R 為足夠大的正實數(shù)，使得 p ( z )的每一個根的絕對值都小于 R ；這個數(shù)一定存在，因為 n 次多項式函數(shù)最多有 n 個根。對于每一個 r > R ，考慮以下的數(shù)：

其中 c ( r )是中心為0，半徑為 r 的逆時針方向的圓；于是輻角原理表明，這個數(shù)是 p ( z )在中心為0、半徑為 r 的開圓盤內(nèi)的零點的數(shù)目 N ，由于 r > R ，所以它也是 p ( z )的零點的總數(shù)目。另一方面， n / z 沿著 c ( r )的積分除以2π i ，等于 n 。但這兩個數(shù)的差為：

被積分的有理表達(dá)式中的分子，次數(shù)最多是 n ? 1，而分母的次數(shù)是 n + 1。因此，當(dāng) r 趨于+∞時，以上的數(shù)趨于0。但這個數(shù)也等于 N ? n ，因此有 N = n 。

證明四

這個證明結(jié)合了線性代數(shù)和柯西積分定理。為了證明每一個 n > 0次復(fù)系數(shù)多項式都有一個根，只需證明每一個方塊矩陣都有一個復(fù)數(shù)特征值 。證明用到了反證法。

設(shè) A 為大小 n > 0的方塊矩陣，并設(shè) I n 為相同大小的單位矩陣。假設(shè) A 沒有特征值。考慮預(yù)解函數(shù)

它在復(fù)平面上是亞純函數(shù)，它的值位于矩陣的向量空間內(nèi)。 A 的特征值正好是 R(z) 的極點。根據(jù)假設(shè)， A 沒有特征值，因此函數(shù) R(z) 是整函數(shù)，根據(jù)柯西積分定理可知：

另一方面，把 R(z) 展開為幾何級數(shù)，可得：

這個公式在半徑為|| A ||的閉圓盤的外部（ A 的算子范數(shù)）成立。設(shè) r > || A ||。那么：

（僅當(dāng) k = 0時，積分才不等于零）。于是得出矛盾，因此 A 一定有一個特征值。

拓?fù)鋵W(xué)證明

設(shè) z 0 ∈ C 為使| p ( z )|在 z 0 取得最小值的數(shù); 從用到劉維爾定理的證明中，可以看到這樣一個數(shù)一定存在。我們可以把 p ( z )寫成 z ? z 0 的多項式：存在某個自然數(shù) k 和一些復(fù)數(shù) c k 、 c k + 1 、…、 c n ，使得 c k ≠ 0，以及：

可推出如果 a 是? p ( z 0 )/ c k 的一個 k 重根，且 t 是足夠小的正數(shù)，那么| p ( z 0 + ta )| p( z 0 )|，這是不可能的，因為| p ( z 0 )|是| p |在 D 內(nèi)的最小值。

對于另外一個用到反證法的拓?fù)鋵W(xué)證明，假設(shè) p ( z )沒有根。選擇一個足夠大的正數(shù) R ，使得對于| z | = R ， p ( z )的第一項 z 大于所有其它的項的和；也就是說，| z | > | a n ? 1 z + ··· + a 0 |。當(dāng) z 依逆時針方向繞過方程為| z | = R 的圓一次時， p ( z )，像 z 那樣，依逆時針方向繞過零 n 次。在另外一個極端，| z | = 0時，“曲線” p ( z )僅僅是一個（非零的）點 p (0)，它的卷繞數(shù)顯然是0。如果 z 所經(jīng)過的回路在這兩個極端中被連續(xù)變形，那么 p ( z )的路徑也連續(xù)變形。我們可以變形記變形記為 H ( R e i θ θ --> , t ) = p ( ( 1 ? ? --> t ) R e i θ θ --> ) {\displaystyle H(Re^{i\theta },t)=p((1-t)Re^{i\theta })} ，其中 t 大于或等于0，而小于或等于1。如果我們把變量 t 視為時間，那么在時間為零時，曲線為 p(z) ，時間為1時，曲線為 p(0) 。顯然在每一個點 t ，根據(jù)原先的假設(shè) p(z) 都不能是零，因此在變形的過程中，曲線一直都沒有經(jīng)過零。因此曲線關(guān)于0的繞數(shù)應(yīng)該不變。然而，由于繞數(shù)在一開始是 n ，結(jié)束時是0，因此得出矛盾。所以， p ( z )至少有一個根。

代數(shù)證明

這個證明需要依賴實數(shù)集的如下事實：正實數(shù)在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上有實平方根，以及任何奇次多項式在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上有一個根（這可以用介值定理證明）。

首先 C = R [ x ] / ( x 2 + 1 ) = R ( i ) {\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} (i)} 。經(jīng)過簡單的計算可以證明 C {\displaystyle \mathbb {C} } 在開平方運算下是封閉的（利用事實1）。結(jié)合 c h a r C = 0 ≠ ≠ --> 2 {\displaystyle char\mathbb {C} =0\neq 2} 。得出 C {\displaystyle \mathbb {C} } 不存在二階擴(kuò)張。

由于 c h a r R = 0 {\displaystyle char\mathbb {R} =0} ，于是任何 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的擴(kuò)張都是可分的，從而任何 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的代數(shù)擴(kuò)張都可以被包含在一個伽羅瓦擴(kuò)張內(nèi)。假設(shè) K / R {\displaystyle K/\mathbb {R} } 、 K / C {\displaystyle K/\mathbb {C} } 都是伽羅瓦擴(kuò)張。考慮伽羅瓦群 G = G a l ( K / R ) {\displaystyle G=Gal(K/\mathbb {R} )} 的西羅2-子群 H 。那么 [ K H : R ] {\displaystyle [K^{H}:\mathbb {R} ]} 是奇數(shù)。由本原元定理得出， K 存在本原元 α α --> {\displaystyle \alpha } ，它的極小多項式是奇次的。但是利用實數(shù)集的事實2，任何奇次數(shù)多項式在實數(shù)上有一個根，不存在奇數(shù)次且次數(shù)>1的不可分多項式。于是 H = G , K H = R , [ K : R ] {\displaystyle H=G,K^{H}=\mathbb {R} ,[K:\mathbb {R} ]} 是2的冪次。

假設(shè) [ K : C ] = 2 r {\displaystyle [K:\mathbb {C} ]=2^{r}} 并且 r>0 ，再次利用西羅定理， G 存在一個階為 2 的子群 N 。這時 [ K N : C ] = 2 {\displaystyle [K^{N}:\mathbb {C} ]=2} 。這和先前 C {\displaystyle \mathbb {C} } 不存在二階擴(kuò)張矛盾。因此 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的任何代數(shù)擴(kuò)張都是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 本身，代數(shù)基本定理得證。

推論

由于代數(shù)基本定理可以視為復(fù)數(shù)域是代數(shù)封閉的，可推出任何關(guān)于代數(shù)封閉域的定理在復(fù)數(shù)域都是適用的。這個定理有一些推論，要么是關(guān)于實數(shù)域的，要么是關(guān)于實數(shù)域與復(fù)數(shù)域之間的關(guān)系的：

復(fù)數(shù)域是實數(shù)域的代數(shù)閉包。

每一個一元實系數(shù)多項式都可以表示為常數(shù)、 x + a 形式的多項式（ a 為實數(shù)），以及 x + ax + b 形式的多項式（ a 和 b 為實數(shù)， a ? 4 b

每一個一元實系數(shù)有理函數(shù)都可以寫成 a /( x ? b ) 形式的有理函數(shù)（其中 n 是自然數(shù)， a 和 b 是實數(shù)），與( ax + b )/( x + cx + d ) 形式的有理函數(shù)（其中 n 是自然數(shù)， a 、 b 、 c 和 d 是實數(shù)， c ? 4 d 初等的原函數(shù)。

實數(shù)域的任何一個代數(shù)擴(kuò)張要么與實數(shù)域同構(gòu)，要么與復(fù)數(shù)域同構(gòu)。

韋達(dá)公式

韋達(dá)公式把多項式的系數(shù) { a k } {\displaystyle \lbrace a_{k}\rbrace } 與它的根 { x k } {\displaystyle \lbrace x_{k}\rbrace } 的和與積聯(lián)系起來。

這可以直接從以下等式的展開式推出： a n X n + a n ? ? --> 1 X n ? ? --> 1 + ? ? --> + a 1 X + a 0 = a n ( X ? ? --> x 1 ) ( X ? ? --> x 2 ) ? ? --> ( X ? ? --> x n ) {\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}

參考文獻(xiàn)

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