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證明

算術(shù)基本定理的最早證明是由歐幾里得給出的。準(zhǔn)確的說，歐幾里得證明了在一般整環(huán)上看與算術(shù)基本定理等價(jià)的命題：若質(zhì)數(shù) p | a b {\displaystyle p|ab} ，則不是 p | a {\displaystyle p|a} ，就是 p | b {\displaystyle p|b} 。然而，在歐幾里得的時(shí)代，并沒有發(fā)展出冪運(yùn)算和指數(shù)的寫法，甚至連四個(gè)整數(shù)的乘積這種算式都被認(rèn)為是沒有意義的，所以歐幾里得并沒有給出算術(shù)基本定理的現(xiàn)代陳述。

大于1的自然數(shù)必可寫成素?cái)?shù)之積

用反證法：假設(shè)存在大于1的自然數(shù)不能寫成質(zhì)數(shù)的乘積，把最小的那個(gè)稱為n。

自然數(shù)可以根據(jù)其 可除性 （是否能表示成兩個(gè)不是自身的自然數(shù)的乘積）分成3類：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。首先，按照定義， n 大于1。其次， n 不是質(zhì)數(shù)，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)p可以寫成質(zhì)數(shù)乘積：p=p，這與假設(shè)不相符合。因此n只能是合數(shù)，但每個(gè)合數(shù)都可以分解成兩個(gè)嚴(yán)格小于自身而大于1的自然數(shù)的積。設(shè) n = a × × --> b {\displaystyle n=a\times b} ，其中 a 和 b 都是介于1和 n 之間的自然數(shù)，因此，按照 n 的定義， a 和 b 都可以寫成質(zhì)數(shù)的乘積。從而 n = a × × --> b {\displaystyle n=a\times b} 也可以寫成質(zhì)數(shù)的乘積。由此產(chǎn)生矛盾。因此大于1的自然數(shù)必可寫成質(zhì)數(shù)的乘積。

唯一性

引理：若質(zhì)數(shù) p | a b {\displaystyle p|ab} ，則不是 p | a {\displaystyle p|a} ，就是 p | b {\displaystyle p|b} 。

引理的證明：若 p | a {\displaystyle p|a} 則證明完畢。若 p ? ? --> a {\displaystyle p\nmid a} ，那么兩者的最大公約數(shù)為1。根據(jù)裴蜀定理，存在 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 使得 m a + n p = 1 {\displaystyle ma+np=1} 。于是 b = b ( m a + n p ) = a b m + b n p {\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp} 。 由于 p | a b {\displaystyle p|ab} ，上式右邊兩項(xiàng)都可以被 p 整除。所以 p | b {\displaystyle p|b} 。

再用反證法：假設(shè)有些大于1的自然數(shù)可以以多于一種的方式寫成多個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，那么假設(shè) n 是最小的一個(gè)。

首先 n 不是質(zhì)數(shù)。將 n 用兩種方法寫出： n = p 1 p 2 p 3 ? ? --> p r = q 1 q 2 q 3 ? ? --> q s {\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。根據(jù)引理，質(zhì)數(shù) p 1 | q 1 q 2 q 3 ? ? --> q s {\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} ，所以 q 1 , q 2 , q 3 ? ? --> q s {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}} 中有一個(gè)能被 p 1 {\displaystyle p_{1}} 整除，不妨設(shè)為 q 1 {\displaystyle q_{1}} 。但 q 1 {\displaystyle q_{1}} 也是質(zhì)數(shù)，因此 q 1 = p 1 {\displaystyle q_{1}=p_{1}} 。所以，比n小的正整數(shù) n ′ = p 2 p 3 ? ? --> p r {\displaystyle n"=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}} 也可以寫成 q 2 q 3 ? ? --> q s {\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。這與 n 的最小性矛盾！

因此唯一性得證。

相關(guān)

在一般的數(shù)域中，并不存在相應(yīng)的定理；事實(shí)上，在虛二次域 Q ( ? ? --> D ) ( D ∈ ∈ --> N ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )} 之中，只有少數(shù)幾個(gè)能滿足，最大的一個(gè) D {\displaystyle D} 是 D = 163 {\displaystyle D=163} 。例如， 6 {\displaystyle 6} 可以以兩種方式在 Z [ ? ? --> 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 中表成整數(shù)乘積： 2 × × --> 3 {\displaystyle 2\times 3} 和 ( 1 + ? ? --> 5 ) ( 1 ? ? --> ? ? --> 5 ) {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 。同樣的，在分圓整數(shù)中一般也不存在唯一分解性，而這恰恰是人們?cè)谧C明費(fèi)馬大定理時(shí)所遇到的陷阱之一。

歐幾里得在普通整數(shù) Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 中證明了算術(shù)基本定理──每個(gè)整數(shù)可唯一地分解為素?cái)?shù)的乘積，高斯則在復(fù)整數(shù) Z [ ? ? --> 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 中得出并證明，只要不計(jì)四個(gè)可逆元素 ( ± ± --> 1 , ± ± --> i ) {\displaystyle (\pm 1,\pm i)} 之作用，那么這個(gè)唯一分解定理在 Z [ ? ? --> 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 也成立。高斯還指出，包括費(fèi)馬大定理在內(nèi)的普通素?cái)?shù)的許多定理都可能擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。

高斯類數(shù)

對(duì)于二次方程： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ ≠ --> 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)} ，它的根可以表示為：

因?yàn)樨?fù)數(shù)不能開平方， b 2 ? ? --> 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} 的符號(hào)就很重要，如果為正，有兩個(gè)根；如果為0，只有一個(gè)根；如果為負(fù)， 沒有歐拉。歐拉的素?cái)?shù)公式：： f ( x ) = x 2 + x + 41 ( a ≠ ≠ --> 0 ) {\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)} ， b 2 ? ? --> 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} =1-164=-163,兩個(gè)復(fù)數(shù)解：

a + b ? ? --> d {\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} ,哪個(gè)d值使你得到唯一分解定理？ d=1,2,3都是可以得到定理，d=5時(shí)，就不能夠。因?yàn)樵谶@個(gè)數(shù)系中6這個(gè)數(shù)有兩種形式的因子分解（分解至不可分約的情形）。 6=2×3；6= ( 1 + ? ? --> 5 ) ( 1 ? ? --> ? ? --> 5 ) {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 。在高斯時(shí)代，知道有9個(gè)d使得 a + b ? ? --> d {\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} ,所產(chǎn)生的數(shù)有唯一因子分解（a，b如上面指出那樣取值）。 d=1,2,3,7,11,19,43,67,163.高斯認(rèn)為不會(huì)超過10個(gè)數(shù)。但是沒有人能夠證明。 瑞士52年庫爾特?cái)?shù)學(xué)家，退休的瑞士工程師庫爾特·黑格納（kurt Heegner）發(fā)表了他的證明，聲稱第10個(gè)高斯類數(shù)不存在。但是沒有人相信他。世界又等待了15年之后斯塔克這個(gè)定理：麻省理工學(xué)院的斯塔克（H arold貝克tark）和劍橋大學(xué)的阿蘭貝克 （AlanBaker）獨(dú)立用不同方法證明了第10個(gè)d值不存在。兩個(gè)人重新檢查了希格內(nèi)爾的工作，發(fā)現(xiàn)他的證明是正確的。 為了記念長(zhǎng)期被忽視的希格內(nèi)爾，上述的9個(gè)數(shù)被稱為黑格納數(shù)，一些曲線上的點(diǎn)被命名為希格內(nèi)爾點(diǎn)。 參見《數(shù)學(xué)新的黃金時(shí)代》和其它數(shù)學(xué)書籍。

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