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定義和符號(hào)

給定兩個(gè)群( G , *) 和 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } )，從 ( G , *) 到 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } ) 的 群同構(gòu) 是從 G 到 H 的 雙射群同態(tài)。這意味著群同構(gòu)是雙射函數(shù) f : G → → --> H {\displaystyle f:G\rightarrow H} 使得對(duì)于所有 G 中的 u 和 v 有著

兩個(gè)群 ( G , *) 和 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } ) 是同構(gòu)的如果存在一個(gè)群同構(gòu)。這寫為:

經(jīng)常使用簡寫符號(hào)。在關(guān)于群運(yùn)算沒有歧義的情況下，可以省略它:

有時(shí)甚至簡寫為 G = H 。這種表示是否引起歧義或混淆依賴于上下文。例如，在這兩個(gè)群是同一個(gè)群的子群的時(shí)候就不適合。參見后面的例子。

反過來說，給定群 ( G , *)、集合 H 和雙射 f : G → → --> H {\displaystyle f:G\rightarrow H} ，我們可以通過定義 f ( u ) ⊙ ⊙ --> f ( v ) = f ( u ? ? --> v ) {\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v)} 制造一個(gè)群 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } )。

如果 H = G 并且 ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } = * 則雙射是 自同構(gòu) 。

例子

實(shí)數(shù)集帶有加法的群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ,+) 同構(gòu)于正實(shí)數(shù)集帶有乘法的群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ,×):

通過同構(gòu)

(參見指數(shù)函數(shù))。

整數(shù)集帶有加法的群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的子群，而因子群 R {\displaystyle \mathbb {R} } / Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 同構(gòu)于絕對(duì)值為 1 的復(fù)數(shù)集帶有乘法的群 S 1 {\displaystyle S^{1}} :

同構(gòu)給出為

對(duì)于所有 x ∈ ∈ --> R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 。

克萊因四元群同構(gòu)于 Z 2 = Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 的兩個(gè)復(fù)本的直積(參見模算術(shù))，并因此寫為 Z 2 × × --> Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} 。另一個(gè)符號(hào)是 Dih 2 ，因?yàn)樗嵌骟w群。

如果 ( G , *) 是無限循環(huán)群，則 ( G , *) 同構(gòu)于整數(shù)集帶有加法的群。從代數(shù)的觀點(diǎn)看，這意味著所有整數(shù)的集合帶有加法運(yùn)算是唯一的無限循環(huán)群。

某些群可以依賴于選擇公理證明是同構(gòu)的，但在理論上不能構(gòu)造出具體的同構(gòu)。比如:

群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } , +) 同構(gòu)于所有復(fù)數(shù)帶有加法的群 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } , +)。

非零復(fù)數(shù)集帶有乘法的群 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } , ·) 同構(gòu)于上面提及的群 S 。

性質(zhì)

從 ( G , *) 到 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } ) 的同構(gòu)的核總是 {e G } 這里的 e G 是群 ( G , *) 的單位元。

如果 ( G , *) 同構(gòu)于 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } )，并且如果 G阿貝爾群貝爾群則 H 也是。

如果 ( G , *) 是同構(gòu)于 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } ) 的有限群，這里 f 是同構(gòu)，則如果 a 屬于 G 并有階 n ，則 f(a) 也是。

如果 ( G , *) 是同構(gòu)于 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } ) 的局部有限群，則 ( H , ⊙ ⊙ --> {\displaystyle \odot } ) 也是局部有限群。

前面的例子展示了同構(gòu)總是保持“群性質(zhì)”。

推論

從定義可以得出任何同構(gòu) f : G → → --> H {\displaystyle f:G\rightarrow H} 將映射 G 的單位元到 H 的單位元，

并且映射逆元到逆元，

和更一般的， n 次冪到 n 次冪

對(duì)于所有 u ∈ G ，并且逆映射 f ? ? --> 1 : H → → --> G {\displaystyle f^{-1}:H\rightarrow G} 也是群同構(gòu)。

“同構(gòu)”關(guān)系滿足等價(jià)關(guān)系的所有公理。如果 f 是在兩個(gè)群 G 和 H 之間的同構(gòu)，則關(guān)于 G 的只與群結(jié)構(gòu)有關(guān)的所有為真的事情都可以通過 f 轉(zhuǎn)換成關(guān)于 H 的同樣為真的陳述，反之亦然。

自同構(gòu)

從群 ( G ,*) 到自身的同構(gòu)叫做這個(gè)群的自同構(gòu)。就是說這是雙射 f : G → → --> G {\displaystyle f:G\rightarrow G} 使得

自同構(gòu)總是映射單位元到自身。共軛類在自同構(gòu)下的像總是共軛類(同一個(gè)或另一個(gè))。一個(gè)元素的像有同這個(gè)元素相同的階。

兩個(gè)自同構(gòu)的復(fù)合也是自同構(gòu)，并且群 G 的所有自同構(gòu)的集合在復(fù)合運(yùn)算下自身形成了一個(gè)群，即 G 的 自同構(gòu)群 ，指示為 Aut( G )。

對(duì)于所有阿貝爾群，至少有把群的元素替換為它的逆元的自同構(gòu)。但是，在所有元素都等于它的逆元的群中這是一個(gè)平凡自同構(gòu)，比如在克萊因四元群中。對(duì)于這種群三個(gè)非單位元的所有置換都是自同構(gòu)，所以這個(gè)自同構(gòu)群同構(gòu)于 S 3 和 Dih 3 。

在對(duì)于素?cái)?shù) p 的 Z p 中，一個(gè)非單位元元素可以被替換為另一個(gè)，帶有在其他元素中的相應(yīng)變更。這個(gè)自同構(gòu)群同構(gòu)于 Z p ? 1 。例如，對(duì)于 n = 7，Z 7 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在這個(gè)自同構(gòu)群中的一個(gè) 6 階自同構(gòu)，因?yàn)?3 = 1 ( modulo 7 )，而更低的冪不得出 1。因?yàn)檫@個(gè)自同構(gòu)生成了 Z 6 。這里還有一個(gè)自同構(gòu)有這個(gè)性質(zhì): Z 7 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此這兩個(gè)對(duì)應(yīng)于 Z 6 的元素 1 和 5，以這個(gè)次序或反過來。

Z 6 的自同構(gòu)群同構(gòu)于 Z 2 ，因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)元素 1 和 5 的每一個(gè)能生成 Z 6 ，所以除了單位元之外我們只能互換它們。

Z 2 × Z 2 × Z 2 = Dih 2 × Z 2 的自同構(gòu)群有階 168，這可以如下這樣找到。所有 2 - 1 = 7 個(gè)非單位元元素扮演相同的角色，所以我們可以選擇讓誰扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 2 - 2 = 6 中的任何一個(gè)都可以被選擇來扮演 (0,1,0) 的角色。這確定了誰對(duì)應(yīng)于 (1,1,0)。對(duì) (0,0,1) 我們可以有 2 - 2 = 4 個(gè)選擇，這就確定了余下的。因此我們有了 7 × 6 × 4 = 168 個(gè)自同構(gòu)。它們對(duì)應(yīng)于Fano平面的成員，它的 7 個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 7 個(gè)非單位元元素。連接三個(gè)點(diǎn)的線對(duì)應(yīng)于群運(yùn)算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見在有限域上的一般線性群。

對(duì)于阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構(gòu)叫做外自同構(gòu)。

非阿貝爾群有非平凡的內(nèi)自同構(gòu)群，并可能也有外自同構(gòu)。

參見

同構(gòu)基本定理

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