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定義

設X, Y是兩個度量空間，其中的距離分別是dX 和dY。一個映射f : X → Y 被稱為“保距映射”，如果對任意的a,b ∈ X，都有

保距映射一定是單射。任意兩個度量空間之間的等距同構(gòu)都必然是一個拓撲嵌入。

等距同構(gòu)是一一對應的保距映射，有時也被稱為全局等距同構(gòu)。還有一種定義是路徑等距同構(gòu)，指保持所有曲線長度的映射（不一定是一一對應的）。

如果兩個度量空間之間存在一個等距同構(gòu)，就稱它們兩個為等距同構(gòu)的。所有從一個度量空間到另一個的等距同構(gòu)關(guān)于映射的復合運算組成一個群，稱為等距同構(gòu)群。

例子

所有度量空間到自身的恒等映射都是等距同構(gòu)。

在歐幾里得空間中，平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換以及它們的復合都是等距同構(gòu)。

內(nèi)積空間C 上的線性等距同構(gòu)是所有的酉變換。

線性等距同構(gòu)

在賦范向量空間之間可以定義線性等距同構(gòu)：所有保持范數(shù)的線性映射：

線性等距同構(gòu)一定是保距映射，因此如果是滿射，就是（全局）等距同構(gòu)。

根據(jù)馬祖-玉蘭定理，系數(shù)域為實數(shù)的賦范向量空間上的等距同構(gòu)一定是仿射變換。

參見

對合

同胚

參考來源

張賢科. 《高等代數(shù)學》第二版. 清華大學出版社. 2002. ISBN 978-7-302-11088-0. 

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