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定義

自同構(gòu)的精確定義，依賴于“數(shù)學(xué)對(duì)象”的種類，及這對(duì)象的“同構(gòu)”的準(zhǔn)確界定?？梢远x這些概念的最一般情形，是在數(shù)學(xué)的一個(gè)抽象分支，稱為范疇論。范疇論是研究抽象對(duì)象和這些對(duì)象間的態(tài)射。

在范疇論中，自同構(gòu)是一個(gè)自同態(tài)（即是一個(gè)對(duì)象到自身的一個(gè)態(tài)射）而同時(shí)為（范疇論所定義的）同構(gòu)。

這是一個(gè)很抽象的定義，因?yàn)榉懂犝撝?，態(tài)射不一定是函數(shù)，對(duì)象不一定是集合。不過(guò)在更具象的情形中，對(duì)象會(huì)是有附加結(jié)構(gòu)的集合，而態(tài)射會(huì)是保持這種結(jié)構(gòu)的函數(shù)。

例如在抽象代數(shù)中，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，如群、環(huán)、向量空間等。一個(gè)同構(gòu)就是雙射的同態(tài)（同態(tài)按代數(shù)結(jié)構(gòu)而定， 例如群同態(tài)、環(huán)同態(tài)、線性算子）。

恒等態(tài)射（恒等映射）在某些情況稱為平凡自同構(gòu)。相對(duì)地，其他（非恒等）自同構(gòu)稱為非平凡自同構(gòu)。

自同構(gòu)群

如果一個(gè)對(duì)象X的自同構(gòu)組成一集合（而不是一個(gè)真類）那么這些自同構(gòu)以態(tài)射復(fù)合運(yùn)算組成一個(gè)群。這個(gè)群稱為X的自同構(gòu)群?？梢灾苯訖z查這的確是一個(gè)群：

閉合性：兩個(gè)自同態(tài)的復(fù)合是另一個(gè)自同態(tài)。

結(jié)合性：態(tài)射復(fù)合一定有結(jié)合性。

單位元素：?jiǎn)挝辉厥且粋€(gè)對(duì)象到自身的恒等映射，按定義一定存在。

逆元素：任一同構(gòu)按定義都有一個(gè)也是同構(gòu)的逆映射，由于這逆映射也是同一對(duì)象的自同態(tài)，所以是自同構(gòu)。

在一個(gè)范疇C中的一個(gè)對(duì)象X的自同構(gòu)群，記為AutC(X)，如果內(nèi)文明顯看出該范疇，可簡(jiǎn)記為Aut(X)。

例子

在集合論中，一個(gè)集合X的元素的任一個(gè)置換是一個(gè)自同構(gòu)。X的自同構(gòu)群也稱為X上的對(duì)稱群。

在初等算術(shù)中，整數(shù)集Z，考慮成在加法下的一個(gè)群，有唯一的非平凡自同構(gòu)：取負(fù)。但是，考慮成一個(gè)環(huán)，便僅有平凡自同構(gòu)。一般而言，取負(fù)是任何阿貝爾群的自同構(gòu)，但不是一個(gè)環(huán)或域的自同構(gòu)。

群自同構(gòu)是一個(gè)群到自身的群同態(tài)。非正式而言，這是一個(gè)使得結(jié)構(gòu)不變的群元素置換。對(duì)任何群G，有一個(gè)自然群同態(tài)G → Aut(G)，其像是內(nèi)自同構(gòu)群Inn(G)，其核是G的中心。因此若G有平凡中心，則可以嵌入到其自同構(gòu)群之中。

在線性代數(shù)中，向量空間V的一個(gè)自同態(tài)是一個(gè)線性算子V → V。一個(gè)自同構(gòu)是V上的一個(gè)可逆線性算子。當(dāng)向量空間V是有限維的，其自同構(gòu)群即是一般線性群GL(V)。

域自同構(gòu)是從一個(gè)域到自身的一個(gè)雙射環(huán)同構(gòu)。有理數(shù)域Q和實(shí)數(shù)域R都沒(méi)有非平凡域自同構(gòu)。R的一些子域有非平凡域自同構(gòu)，但不能擴(kuò)展至整個(gè)R（因?yàn)樗鼈儾荒鼙３忠粋€(gè)數(shù)在R中有平方根的性質(zhì)）。復(fù)數(shù)域C有唯一的非平凡自同構(gòu)將R映至R：復(fù)共軛，但是有（不可數(shù)）無(wú)限多“野性”自同構(gòu)（假設(shè)選擇公理）。域自同構(gòu)對(duì)域擴(kuò)張理論很重要，尤其是伽羅瓦擴(kuò)張。在一個(gè)伽羅瓦擴(kuò)張L/K的情形，L的自同構(gòu)中，在子域K上逐點(diǎn)固定的所有自同構(gòu)所組成的子群，稱為該擴(kuò)張的伽羅瓦群。

p進(jìn)數(shù)域Qp沒(méi)有非平凡自同構(gòu)。

在圖論中，一個(gè)圖的圖自同構(gòu)（英語(yǔ)：Graph automorphism），是頂點(diǎn)的一個(gè)置換，使得邊與非邊保持不變：兩個(gè)頂點(diǎn)若有邊連接，則在置換下這兩頂點(diǎn)的像有邊連接，反之亦然。

在幾何學(xué)中，空間的一個(gè)自同構(gòu)有時(shí)稱為空間的運(yùn)動(dòng)（英語(yǔ)：motion (geometry)）。一些特定名詞也會(huì)使用：

歷史

群自同構(gòu)的一個(gè)最早期的例子，是愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·哈密頓在1856年給出。在他的Icosian calculus（英語(yǔ)：Icosian calculus）中，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)2階的自同構(gòu)， 寫(xiě)道：

內(nèi)自同構(gòu)和外自同構(gòu)

有一些范疇，特別是群、環(huán)、李代數(shù)，其中的自同構(gòu)可以分為兩種，稱為“內(nèi)”自同構(gòu)和“外”自同構(gòu)。

對(duì)群而言，內(nèi)自同構(gòu)就是群本身的元素的共軛作用。對(duì)一個(gè)群G的每個(gè)元素a，以a共軛是一個(gè)運(yùn)算φa : G → G，定義為φa(g) = aga（或aga；用法各異）。易知以a共軛是一個(gè)群自同構(gòu)。內(nèi)自同構(gòu)組成 Aut(G)的一個(gè)正規(guī)子群，記作Inn(G)。

其他的自同構(gòu)稱為外自同構(gòu)。商群Aut(G) / Inn(G)通常記為Out(G)；非平凡元素是包含外自同構(gòu)的陪集。

在任何有幺元的環(huán)或代數(shù)中的可逆元a，可以同樣定義內(nèi)自同構(gòu)。對(duì)于李代數(shù)，定義有少許不同。

另見(jiàn)

自同態(tài)環(huán)（英語(yǔ)：Endomorphism ring）

反自同構(gòu)（英語(yǔ)：Antiautomorphism）

弗羅貝尼烏斯自同構(gòu)

態(tài)射

特征子群（英語(yǔ)：Characteristic subgroup）

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