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例子

(abcbdecef),(130316061),(1557),(2){\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&1&6\\0&6&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}

特性

對于任何方形矩陣X{\displaystyle X}，X+XT{\displaystyle X+X^{T}}是對稱矩陣。

A{\displaystyle A}為方形矩陣是A{\displaystyle A}為對稱矩陣的必要條件。

對角矩陣都是對稱矩陣。

兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特征空間相同。

用表示Rn{\displaystyle R^{n}}上的內(nèi)積。n× × -->n{\displaystyle n\times n}的實矩陣A{\displaystyle A}是對稱的，當且僅當對于所有x,y∈ ∈ -->Rn{\displaystyle x,y\in {\mathbb {R}}^{n}}，? ? -->Ax,y? ? -->=? ? -->x,Ay? ? -->{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }。

任何方形矩陣X{\displaystyle X}，如果它的元素屬于一個特征不為2的域（例如實數(shù)），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：

每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個復方形矩陣都可寫作兩個復對稱矩陣的積。

若對稱矩陣A{\displaystyle A}的每個元素均為實數(shù)，A{\displaystyle A}是Hermite矩陣。

一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣當且僅當所有元素都是零。

如果X是對稱矩陣，那么 AXAT{\displaystyle AXA^{\textrm {T}}} 也是對稱矩陣.

分解

利用若爾當標準形，我們可以證明每一個實方陣都可以寫成兩個實對稱矩陣的乘積，而每一個復方陣都可以寫成兩個復對稱矩陣的乘積。(Bosch, 1986)

每一個實非奇異矩陣都可以唯一分解成一個正交矩陣和一個對稱正定矩陣的乘積，這稱為極分解。奇異矩陣也可以分解，但不是唯一的。

楚列斯基分解說明每一個實正定對稱矩陣都是一個上三角矩陣和它的轉(zhuǎn)置的乘積。

黑塞矩陣

實對稱n × n矩陣出現(xiàn)在二階連續(xù)可微的n元函數(shù)的黑塞矩陣之中。

R上的每一個二次型q都可以唯一寫成q(x) = xAx的形式，其中A是對稱的n × n矩陣。于是，根據(jù)譜定理，可以說每一個二次型，不考慮R的正交基的選擇，“看起來像”：

其中λi是實數(shù)。這大大簡化了二次型的研究，以及水平集{x : q(x) = 1}的研究，它們是圓錐曲線的推廣。

這是很重要的，部分是由于每一個光滑的多元函數(shù)的二階表現(xiàn)，都由屬于該函數(shù)的黑塞矩陣的二次型描述；這是泰勒定理的一個結(jié)果。

可對稱化矩陣

矩陣A稱為可對稱化的，如果存在一個可逆對角矩陣D和一個對稱矩陣S，使得：

可對稱化矩陣的轉(zhuǎn)置也是可對稱化的，因為(DS)T=DD? ? -->1SD{\displaystyle (DS)^{T}=DD^{-1}SD}。矩陣A=[ajk]{\displaystyle A=[a_{jk}]}是可對稱化的，當且僅當滿足以下的條件：

如果aij=0{\displaystyle a_{ij}=0}，那么aji=0{\displaystyle a_{ji}=0}；

對于任何有限序列i1,i2,...,ik{\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{k}}，都有ai1i2ai2i3...aiki1=ai2i1ai3i2...ai1ik{\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}...a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}...a_{i_{1}i_{k}}}。

與不等式的關(guān)系

對稱陣 Z 分解為3行3列:

當且僅當

時, 存在 X=Z13TZ11? ? -->1Z12? ? -->Z23T{\displaystyle X=Z_{13}^{T}Z_{11}^{-1}Z_{12}-Z_{23}^{T}}, 使得

成立。

參見

循環(huán)矩陣

漢克爾矩陣

特普利茨矩陣

中心對稱矩陣

希爾伯特矩陣

考克斯特矩陣

協(xié)方差矩陣

參考文獻

A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471. 

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