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發(fā)展

作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成書(shū)最遲在東漢前期的《九章算術(shù)》中，已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)以矩陣形式表示線性方程組系數(shù)以解方程的圖例，可算作是矩陣的雛形 。矩陣正式作為數(shù)學(xué)中的研究對(duì)象出現(xiàn)，則是在行列式的研究發(fā)展起來(lái)后。邏輯上，矩陣的概念先于行列式，但在實(shí)際的歷史上則恰好相反。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（1683年）與微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同時(shí)地獨(dú)立建立了行列式論。其后行列式作為解線性方程組的工具逐步發(fā)展。1750年，加布里爾·克拉默發(fā)現(xiàn)了克萊姆法則 。

  阿瑟·凱萊被認(rèn)為是矩陣論的奠基人

進(jìn)入十九世紀(jì)后，行列式的研究進(jìn)一步發(fā)展，矩陣的概念也應(yīng)運(yùn)而生。奧古斯丁·路易·柯西是最早將行列式排成方陣并將其元素用雙重下標(biāo)表示的數(shù)學(xué)家。他還在1829年就在行列式的框架中證明了實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征根為實(shí)數(shù)的結(jié)論 。其后，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特注意到，在作為行列式的計(jì)算形式以外，將數(shù)以行和列的形式作出的矩形排列本身也是值得研究的。在他希望引用數(shù)的矩形陣列而又不能用行列式來(lái)形容的時(shí)候，就用“matrix”一詞來(lái)形容 。而在此之前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)開(kāi)始將增廣矩陣作為獨(dú)立的對(duì)象引用了。西爾維斯特使用“matrix”一詞是因?yàn)樗Ｍ懻撔辛惺降淖邮?，即將矩陣的某幾行和某幾列的共同元素取出?lái)排成的矩陣的行列式，所以實(shí)際上“matrix”被他看做是生成各種子式的“母體”：

阿瑟·凱萊被公認(rèn)為矩陣論的奠基人 。他開(kāi)始將矩陣作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象研究時(shí)，許多與矩陣有關(guān)的性質(zhì)已經(jīng)在行列式的研究中被發(fā)現(xiàn)了，這也使得凱萊認(rèn)為矩陣的引進(jìn)是十分自然的。他說(shuō)：“我決然不是通過(guò)四元數(shù)而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來(lái)，或是作為一個(gè)表達(dá)線性方程組的方便方法而來(lái)的。 ”他從1858年開(kāi)始，發(fā)表了《矩陣論的研究報(bào)告》等一系列關(guān)于矩陣的專(zhuān)門(mén)論文 ，研究了矩陣的運(yùn)算律、矩陣的逆以及轉(zhuǎn)置和特征多項(xiàng)式方程。凱萊還提出了凱萊-哈密爾頓定理，并驗(yàn)證了3×3矩陣的情況，又說(shuō)進(jìn)一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是弗羅貝尼烏斯于1898年給出的 。

此后更多的數(shù)學(xué)家開(kāi)始對(duì)矩陣進(jìn)行研究。埃爾米特證明了如果矩陣等于其復(fù)共軛轉(zhuǎn)置，則特征根為實(shí)數(shù)。這種矩陣后來(lái)被稱(chēng)為埃爾米特矩陣 。弗羅貝尼烏斯對(duì)矩陣的特征方程、特征根、矩陣的秩、正交矩陣、矩陣方程等方面做了大量工作。1878年，在引進(jìn)了不變因子、初等因子等概念的同時(shí)，弗羅貝尼烏斯給出了正交矩陣、相似矩陣和合同矩陣的概念。同年，他探討了矩陣的最小多項(xiàng)式（最小方程）問(wèn)題。1894年的論文中，他討論了矩陣?yán)碚摵退脑獢?shù)理論的關(guān)系。1896年，他給出了凱萊-哈密爾頓定理的完整證明 。矩陣?yán)碚撛?9世紀(jì)沿著兩個(gè)方向發(fā)展，分別是作為抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)和作為代數(shù)工具描述幾何空間的線性變換。矩陣?yán)碚摓槿赫摵筒蛔兞坷碚摰陌l(fā)展。

無(wú)限維矩陣的研究始于1884年。龐加萊在兩篇不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厥褂昧藷o(wú)限維矩陣和行列式理論的文章后開(kāi)始了對(duì)這一方面的專(zhuān)門(mén)研究 。1906年，希爾伯特引入無(wú)限二次型（相當(dāng)于無(wú)限維矩陣）對(duì)積分方程進(jìn)行研究，極大地促進(jìn)了無(wú)限維矩陣的研究。在此基礎(chǔ)上，施密茨、赫林格和特普利茨發(fā)展出算子理論，而無(wú)限維矩陣成為了研究函數(shù)空間算子的有力工具 。

定義

將一些元素排列成若干行，每行放上相同數(shù)量的元素，就是一個(gè)矩陣。這里說(shuō)的元素可以是數(shù)字，例如以下的矩陣：

排列成的形狀是矩形，所以稱(chēng)為矩陣。在中國(guó)，橫向的元素組稱(chēng)為“行”，縱向稱(chēng)為“列”。矩陣一般用大寫(xiě)拉丁字母表示，需要具體寫(xiě)出其中元素時(shí)，一般用方括號(hào)或圓括號(hào)括起。以上的矩陣 A 是一個(gè)4行3列的矩陣。

行數(shù)是1或列數(shù)是1的矩陣又可分別稱(chēng)為行向量和列向量。這是因?yàn)橐粋€(gè)向量可以表示成行數(shù)或列數(shù)是1的矩陣形式。矩陣的任一行（列）都是一個(gè)行（列）向量，例如矩陣 A 的第一行 [ 9 13 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\end{bmatrix}}} 就是一個(gè)行向量。行（列）向量可以看成一個(gè)向量，因此可以稱(chēng)矩陣的兩行（列）相等，或者某一行等于某一列，表示其對(duì)應(yīng)的向量相等。

標(biāo)記

一個(gè)矩陣 A 從左上角數(shù)起的第 i 行第 j 列上的元素稱(chēng)為第 i , j 項(xiàng)，通常記為 A i , j 、 A ij 、 a i , j 或 A [ i , j ] 。在上述例子中 A [ 4 , 3 ] = {\displaystyle =} 7。如果不知道矩陣 A 的具體元素，通常也會(huì)將它記成 A = [ a i j ] m × × --> n {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} =\left[\mathbf {a} _{ij}\right]_{m\times n}} 或 A = [ a i , j ] m × × --> n {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} =\left[\mathbf {a} _{i,j}\right]_{m\times n}} 。反之，如果 A 的元素可以寫(xiě)成只與其行數(shù) i 和列數(shù) j 有關(guān)的統(tǒng)一函數(shù) f ，那么也可以用 A = [ f ( i , j ) ] m × × --> n {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {A} =\left[f(i,j)\right]_{m\times n}} 作為 A 的簡(jiǎn)寫(xiě)。例如 B = [ i + 2 j ] 2 × × --> 3 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} =\left[i+2j\right]_{2\times 3}} 是矩陣

的簡(jiǎn)寫(xiě)。要注意的是，一些計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言中，會(huì)將第1行（列）稱(chēng)為第0行（列），從而對(duì)矩陣的寫(xiě)法產(chǎn)生影響，比如矩陣 B 就要改寫(xiě)成 B = [ i + 2 j + 3 ] 2 × × --> 3 {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {B} =\left[i+2j+3\right]_{2\times 3}} 。

矩陣的元素可以是數(shù)字、符號(hào)或數(shù)學(xué)表達(dá)式。一般為了支持矩陣的運(yùn)算，矩陣的元素之間應(yīng)當(dāng)能做加減法和乘法，所以是某個(gè)環(huán)里的元素。最常見(jiàn)的是元素屬于實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域的矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)為實(shí)矩陣和復(fù)矩陣。更一般的情況下，矩陣的元素可以是由一個(gè)環(huán)中的元素排成。給定一個(gè)環(huán) R ，所有由 R 中元素排成的 m × n 矩陣的集合寫(xiě)作 M ( m , n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )} 或 M m × × --> n ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m\times n}(\mathbf {R} )} 。若 m = {\displaystyle =} n ，則通常記以 M ( m , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )} 或 M m ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{m}(\mathbf {R} )} ，稱(chēng)其為 n 維方陣或方陣。

矩陣的基本運(yùn)算

矩陣的最基本運(yùn)算包括矩陣加（減）法，數(shù)乘和轉(zhuǎn)置運(yùn)算。被稱(chēng)為“矩陣加法”、“數(shù)乘”和“轉(zhuǎn)置”的運(yùn)算不止一種 ，其中最基本最常用的定義如下：

矩陣的加法運(yùn)算滿換律： A + B = B + A 。矩陣的轉(zhuǎn)置和數(shù)乘運(yùn)算對(duì)加法滿足分配律：

矩陣加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算使得 M ( m , n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbb {R} )} 成為一個(gè) mn 維的實(shí)數(shù)線性空間。而轉(zhuǎn)置和數(shù)乘運(yùn)算滿足類(lèi)似于結(jié)合律的規(guī)律：

矩陣也有類(lèi)似行列式的初等變換，即對(duì)矩陣的某些行和某些列進(jìn)行三類(lèi)操作：交換兩行（列），將一行（列）的每個(gè)元素都乘以一個(gè)固定的量，以及將一行（列）的每個(gè)元素乘以一個(gè)固定的量之后加到另一行（列）的相應(yīng)元素上。這些操作在求其逆矩陣時(shí)有用。

矩陣乘法

  矩陣 A 和 B 相乘得到 AB 的示意圖

兩個(gè)矩陣的乘法僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣 A 的列數(shù)和另一個(gè)矩陣 B 的行數(shù)相等時(shí)才能定義。如 A 是 m × n 矩陣和 B 是 n × p 矩陣，它們的 乘積 AB 是一個(gè) m × p 矩陣，它的一個(gè)元素

其中 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ p" " 。

例如

矩陣的乘法滿足結(jié)合律和對(duì)矩陣加法的分配律（左分配律和右分配律）：

結(jié)合律： ( AB ) C = {\displaystyle =} A ( BC ),

左分配律： ( A + B ) C = {\displaystyle =} AC + BC ,

右分配律： C ( A + B ) = {\displaystyle =} CA + CB .

矩陣的乘法與數(shù)乘運(yùn)算之間也滿足類(lèi)似結(jié)合律的規(guī)律；與轉(zhuǎn)置之間則滿足倒置的分配律。

矩陣乘法 不滿足 交換律。一般來(lái)說(shuō)，矩陣 A 及 B 的乘積 AB 存在，但 BA 不一定存在，即使存在，大多數(shù)時(shí)候 AB ≠ BA 。比如下面的例子：

這一特性使得矩陣代數(shù)與常見(jiàn)的一些數(shù)域（有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)）以及環(huán)（多項(xiàng)式環(huán)、整數(shù)環(huán)）都不同。給定一個(gè) n 維的方塊矩陣 A ，與 A 交換的所有方塊矩陣構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱(chēng)為 A 的交換子環(huán)。這些矩陣也構(gòu)成 M ( n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\mathbb {R} )} 的一個(gè)子空間，稱(chēng)為 A 的可交換空間 。與 M ( n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\mathbb {R} )} 中所有矩陣交換的矩陣只有形如 λ λ --> I n , λ λ --> ∈ ∈ --> R {\displaystyle \lambda {\mathsf {I}}_{n},\,\lambda \in \mathbb {R} } 的矩陣（稱(chēng)為數(shù)乘矩陣）。其中的 I n {\displaystyle {\mathsf {I}}_{n}} 是單位矩陣，也就是主對(duì)角線上的元素為1，其它元素為0的矩陣。任意矩陣 M 乘以單位矩陣都得到自身： M I n = M = I n M {\displaystyle \mathbf {M} {\mathsf {I}}_{n}=\mathbf {M} ={\mathsf {I}}_{n}\mathbf {M} } 。

除了最常見(jiàn)的矩陣乘法定義以外，也有一些較不常見(jiàn)的矩陣乘法，比如阿達(dá)馬乘積和克羅內(nèi)克乘積 。

線性方程組

矩陣乘法的一個(gè)基本應(yīng)用是在線性方程組上。線性方程組是方程組的一種，它符合以下的形式：

其中的 a 1 , 1 , a 1 , 2 {\displaystyle a_{1,1},\,a_{1,2}} 以及 b 1 , b 2 {\displaystyle b_{1},\,b_{2}} 等等是已知的常數(shù)，而 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},\,x_{2}} 等等則是要求的未知數(shù)。運(yùn)用矩陣的方式，可以將線性方程組寫(xiě)成一個(gè)向量方程：

其中， A 是由方程組里未知量的系數(shù)排成的 m × n 矩陣， x 是含有 n 個(gè)元素的行向量， b 是含有 m 個(gè)元素的行向量 。

這個(gè)寫(xiě)法下，將原來(lái)的多個(gè)方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)向量方程，在已知矩陣 A 和向量 b 的情況下，求未知向量 x 。

線性變換

矩陣是線性變換的便利表達(dá)法。矩陣乘法的本質(zhì)在聯(lián)系到線性變換的時(shí)候最能體現(xiàn)，因?yàn)榫仃嚦朔ê途€性變換的合成有以下的聯(lián)系： 以 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 表示所有長(zhǎng)度為 n 的行向量的集合。每個(gè) m × n 的矩陣 A 都代表了一個(gè)從 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 射到 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 的線性變換。反過(guò)來(lái)，對(duì)每個(gè)線性變換 f : R n → → --> R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} ，都存在唯一 m × n 矩陣 A f 使得對(duì)所有 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的元素 x ， f ( x ) = A f x {\displaystyle f(x)=A_{f}x} 。這個(gè)矩陣 A f 第 i 行第 j 列上的元素是正則基向量 e j = ( 0 , ? ? --> , 0 , 1 , 0 , ? ? --> 0 ) T {\displaystyle \mathbf {e} _{j}=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots 0)^{T}} （第 j 個(gè)元素是1，其余元素是0的向量）在 f 映射后的向量 f ( e j ) {\displaystyle f(\mathbf {e} _{j})} 的第 i 個(gè)元素。

也就是說(shuō)，從 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 射到 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 的線性變換構(gòu)成的向量空間 L ( R n , R m ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}\right)} 上存在一個(gè)到 M ( m , n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbb {R} )} 的一一映射： f ? ? --> A f {\displaystyle f\mapsto A_{f}}

以下是一些典型的2維實(shí)平面上的線性變換對(duì)平面向量（圖形）造成的效果，以及它們對(duì)應(yīng)的2維矩陣。其中每個(gè)線性變換將藍(lán)色圖形映射成綠色圖形；平面的原點(diǎn)(0, 0)用黑點(diǎn)表示。

設(shè)有 k × m 的矩陣 B 代表線性變換 g : R -> R ，則矩陣積 BA 代表了線性變換的復(fù)合 g o f ，因?yàn)?/span>

矩陣的秩是指矩陣中線性無(wú)關(guān)的行（列）向量的最大個(gè)數(shù) ，同時(shí)也是矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換的像空間的維度 。秩－零化度定理說(shuō)明矩陣的列數(shù)量等于矩陣的秩與零空間維度之和 。

方塊矩陣

行數(shù)與列數(shù)相同的矩陣稱(chēng)為 方塊矩陣 ，簡(jiǎn)稱(chēng)方陣。所有 n 維的方塊矩陣構(gòu)成一個(gè)線性空間，這個(gè)空間對(duì)矩陣乘法也是封閉的，因此也是一個(gè)代數(shù)。方陣 A 稱(chēng)為可逆或非奇異的，如果存在另一個(gè)方陣 B ，使得

成立。這時(shí)候可以證明也有 BA = {\displaystyle =} I n 成立 ，可將矩陣 B 稱(chēng)為 A 的逆矩陣 。一個(gè)矩陣 A 的逆矩陣如果存在的話，就是唯一的，通常記作 A 。

矩陣 A 的元素 A i , i 稱(chēng)為其主對(duì)角線上的元素。方塊矩陣 A 的所有主對(duì)角線元素之和稱(chēng)為它的跡，寫(xiě)作 tr( A ) 。盡管矩陣的乘法不滿換律，方陣相乘時(shí)交換順序會(huì)導(dǎo)致乘積變化，但它們的跡不會(huì)變，即 tr( AB ) = {\displaystyle =} tr( BA ) 。除此以外，矩陣轉(zhuǎn)置的跡等于其自身的跡， tr( A ) = {\displaystyle =} tr( A ) 。

如果一個(gè)方陣只有主對(duì)角線上的元素不是0，其它都是0，那么稱(chēng)其為對(duì)角矩陣。如果主對(duì)角線上方的元素都是0，那么稱(chēng)為下三角矩陣；反之如果主對(duì)角線下方的元素都是0，那么稱(chēng)為上三角矩陣。例如 n = {\displaystyle =} 3的時(shí)候，這些矩陣分別寫(xiě)作：

行列式

 R 里的一個(gè)線性變換f將藍(lán)色圖形變成綠色圖形，面積不變，而順時(shí)針排布的向量 x 1和 x 2的變成了逆時(shí)針排布。對(duì)應(yīng)的矩陣行列式是-1.

方塊矩陣 A 的行列式是一個(gè)將其映射到標(biāo)量的函數(shù)，記作 det( A ) 或，反映了矩陣自身的一定特性。一個(gè)方陣的行列式等于0當(dāng)且僅當(dāng)該方陣不可逆。系數(shù)是實(shí)數(shù)的時(shí)候，二維（三維）方陣 A 的行列式的絕對(duì)值表示單位面積（體積）的圖形經(jīng)過(guò) A 對(duì)應(yīng)的線性變換后得到的圖形的面積（體積），而它的正負(fù)則代表了對(duì)應(yīng)的線性變換是否改變空間的定向：行列式為正說(shuō)明它保持空間定向，行列式為負(fù)則說(shuō)明它逆轉(zhuǎn)空間定向。

2×2矩陣的行列式是

3×3矩陣的行列式由6項(xiàng)組成。更高維矩陣的行列式則可以使用萊布尼茲公式寫(xiě)出 ，或使用拉普拉斯展開(kāi)由低一維的矩陣行列式遞推得出 。

兩個(gè)矩陣相乘，乘積的行列式等于它們的行列式的乘積： det( AB ) = {\displaystyle =} det( A )·det( B ) 。將矩陣的一行（列）乘以某個(gè)系數(shù)加到另一行（列）上不改變矩陣的行列式，將矩陣的兩行（列）互換則使得其行列式變號(hào) 。用這兩種操作可以將矩陣變成一個(gè)上三角矩陣或下三角矩陣，而后兩種矩陣的行列式就是主對(duì)角線上元素的乘積，因此能方便地計(jì)算。運(yùn)用行列式可以計(jì)算線性方程組的解（見(jiàn)克萊姆法則） 。

特征值與特征向量

n × n 的方塊矩陣 A 的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)特征向量是滿足

其中的 x λ λ --> i {\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda _{i}}} 表示此向量對(duì)應(yīng)的特征值是 λ λ --> i {\displaystyle \lambda _{i}} ，那么向量 x 經(jīng)過(guò)線性變換后會(huì)變成：

可以清楚地知道變換后向量的結(jié)構(gòu)。

另一個(gè)等價(jià)的特征值定義是：標(biāo)量 λ λ --> {\displaystyle \lambda } 為特征值，如果矩陣 A ? ? --> λ λ --> I n {\displaystyle \mathbf {A} -\lambda {\mathsf {I}}_{n}} 是不可逆矩陣。根據(jù)不可逆矩陣的性質(zhì)，這個(gè)定義也可以用行列式方程描述： λ λ --> {\displaystyle \lambda } 為特征值，如果

對(duì)稱(chēng)

轉(zhuǎn)置等于自己的矩陣，即滿足 A = {\displaystyle =} A 的方塊矩陣 A 叫做對(duì)稱(chēng)矩陣。滿足 A = {\displaystyle =} - A 的矩陣稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣。在復(fù)系數(shù)矩陣中，則有埃爾米特矩陣的概念：滿足 A = {\displaystyle =} A 的方塊矩陣稱(chēng)為埃爾米特矩陣，其中的 A 表示 A 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。

根據(jù)譜定理，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣和復(fù)埃爾米特矩陣擁有特征基，即由矩陣的特征向量組成的基底。因此任何向量都能表示成矩陣特征向量的線性組合。此外，這兩類(lèi)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù) 。

正定性

n × n 的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 如果滿足對(duì)所有非零向量 x ∈ R ，對(duì)應(yīng)的二次型

函數(shù)值都是正數(shù)，就稱(chēng) A 為正定矩陣。類(lèi)似地還有半正定矩陣、負(fù)定矩陣、不定矩陣等概念 。對(duì)稱(chēng)矩陣的正定性與其特征值密切相關(guān)。矩陣是正定的當(dāng)且僅當(dāng)其特征值都是正數(shù) 。

矩陣的計(jì)算

矩陣在許多學(xué)科領(lǐng)域中都有應(yīng)用，在很多時(shí)候，除了需要知道矩陣的理論性質(zhì)以外，還需要計(jì)算矩陣的數(shù)值。為了矩陣的計(jì)算能夠足夠精確與快捷，數(shù)值線性代數(shù)中專(zhuān)門(mén)有研究矩陣的數(shù)值計(jì)算方法 。與其它的數(shù)值計(jì)算一樣，矩陣的數(shù)值計(jì)算注重的主要也是算法的復(fù)雜度和數(shù)值穩(wěn)定性。矩陣的數(shù)值計(jì)算可以使用直接計(jì)算，也可以用迭代算法，例如在計(jì)算方塊矩陣的特征值時(shí)，可以從一個(gè)非零向量 x 0 開(kāi)始，通過(guò)特定迭代方法得到一個(gè)逼近某個(gè)特征向量的向量序列 。

測(cè)量一個(gè)算法的復(fù)雜度是指估計(jì)此算法需要的基本運(yùn)算如數(shù)字的加法和乘法的次數(shù)，或者找出它的一個(gè)上界。例如按照定義計(jì)算的話，兩個(gè) n 階方陣的乘法需要 n 次數(shù)字乘法計(jì)算，因?yàn)槠涑朔e是一個(gè) n 階方陣，有 n 個(gè)元素，計(jì)算每個(gè)元素需要 n 次數(shù)字乘法。如果使用施特拉森算法的話，可以將數(shù)字乘法的次數(shù)減低到大約 n 次 。此外，編程語(yǔ)言或環(huán)境本身對(duì)算法的復(fù)雜度也會(huì)有影響。

某些特殊類(lèi)型的矩陣攜帶的數(shù)據(jù)量比一般矩陣要少，同時(shí)帶來(lái)的信息量比一般矩陣多。一個(gè)重要的例子是稀疏矩陣，這類(lèi)矩陣中絕大部分的元素是零。有關(guān)稀疏矩陣的計(jì)算，如計(jì)算稀疏矩陣 A 的線性方程組 Ax = {\displaystyle =} b 時(shí)，可以使用一些專(zhuān)用于稀疏矩陣的特殊算法（比如共軛梯度法 ），減低計(jì)算復(fù)雜度。

算法的數(shù)值穩(wěn)定性是指輸入值的不會(huì)讓計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大偏差。例如計(jì)算矩陣的逆時(shí)，可以用以下的算法（其中 adj( A ) 表示 A 的伴隨矩陣）

這個(gè)算法在 A 的行列式接近0的時(shí)候會(huì)引起很大的舍入誤差 。而如果使用全選主元的高斯消去法求逆，則在復(fù)雜度降低的同時(shí)能夠避免舍入誤差，保證數(shù)值穩(wěn)定性。

矩陣分解

矩陣研究的一大方向是將一般的矩陣用一些比較“簡(jiǎn)單”的矩陣來(lái)表示。這種表示方式稱(chēng)為矩陣的變換與分解。矩陣變換與分解的方法有很多，它們的目的都是希望化簡(jiǎn)后的矩陣保持原矩陣的某些性質(zhì)，比如行列式、秩或逆矩陣，而形式相對(duì)簡(jiǎn)單，因而能用容易地進(jìn)行討論和計(jì)算，或者能使得某些算法更易執(zhí)行。

LU分解將矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣 L 和一個(gè)上三角矩陣 U 的乘積 。分解后的矩陣可以方便某些問(wèn)題的解決。例如解線性方程組時(shí)，如果將系數(shù)矩陣 A 分解成 A = {\displaystyle =} LU 的形式，那么方程的求解可以分解為求解 Ly = {\displaystyle =} b 和 Ux = {\displaystyle =} y 兩步，而后兩個(gè)方程可以十分簡(jiǎn)潔地求解（詳見(jiàn)三角矩陣中“向前與向后替換”一節(jié)）。又例如在求矩陣的行列式時(shí)，如果直接計(jì)算一個(gè)矩陣 A 的行列式，需要計(jì)算大約 ( n + 1)! 次加法和乘法；而如果先對(duì)矩陣做 LU 分解，再求行列式，就只需要大約 n 次加法和乘法，大大降低了計(jì)算次數(shù)。這是因?yàn)樽?LU 分解的復(fù)雜度大約是 n 次，而后注意到 L 和 U 是三角矩陣，所以求它們的行列式只需要將主對(duì)角線上元素相乘即可。

  若爾當(dāng)矩陣，其中灰色框內(nèi)的是若爾當(dāng)塊

高斯消去法也是一種矩陣分解方法。通過(guò)初等變換操作，可以將任何矩陣變?yōu)殡A梯形矩陣，而每個(gè)操作可以看做是將矩陣乘上一個(gè)特定的初等矩陣 。奇異值分解則是另一種分解方法，將一個(gè)矩陣表示成3個(gè)矩陣的乘積： A = {\displaystyle =} UDV 。其中 U 和 V 是酉矩陣， D 是對(duì)角矩陣。

特征分解是將一個(gè)矩陣 A 寫(xiě)成 PDP 的形式，其中 P 是一個(gè)可逆矩陣， D 是對(duì)角矩陣 。如果 A 的特征分解存在，就稱(chēng)它是可對(duì)角化的矩陣。不能對(duì)角化的矩陣，也有類(lèi)似的分解方式。任意的矩陣 A 都可以寫(xiě)成 PJP 的形式，其中的矩陣 J 是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是矩陣的一種，它與對(duì)角矩陣類(lèi)似，只不過(guò)主對(duì)角線上的元素不是數(shù)值，而是若爾當(dāng)塊：主對(duì)角線上為同一元素 λ λ --> i {\displaystyle \lambda _{i}} ，主對(duì)角線右上一行的次對(duì)角線上都是1，其它元素都是0的矩陣（見(jiàn)右圖） 。特征分解可以方便計(jì)算矩陣的冪次和多項(xiàng)式，如要計(jì)算 A ：

而其中對(duì)角矩陣的冪次 D 要比 A 容易計(jì)算得多。同理還可計(jì)算矩陣指數(shù)： e （在線性微分方程中有應(yīng)用）、矩陣對(duì)數(shù)和矩陣的平方根 。為了提高算法的數(shù)值穩(wěn)定性，還有舒爾分解等矩陣分解方法 。

矩陣的推廣

矩陣的元素除了可以是實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)以外，也可以任意環(huán)或域中元素。在線性代數(shù)中，矩陣的性質(zhì)可以經(jīng)由有限維的線性空間中的線性變換定義。更廣泛的，無(wú)限維空間中的線性算子，則可以定義更廣泛的無(wú)窮維矩陣。矩陣的另一種推廣是張量。標(biāo)量可以看成零維方式排列的數(shù)據(jù)（只有一個(gè)“點(diǎn)”），向量可以看成是一維方式排列的數(shù)據(jù)（若干個(gè)“點(diǎn)”排成的“線段”），矩陣可以看成是二維方式排列的數(shù)據(jù)（若干個(gè)“線段”排成的“矩形”），而張量的概念則包括了這幾種排列方式。在張量的概念中，標(biāo)量是零維張量，向量是一維張量，矩陣是二維張量，而更高維方式排列的數(shù)據(jù)方式就是高維張量 。

一般域和環(huán)上的矩陣

矩陣的元素除了可以是實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)以外，還可以是任何能夠使得矩陣的運(yùn)算律成立的元素。首先，矩陣的元素可以是任意一個(gè)域（即能夠進(jìn)行“加減乘除”運(yùn)算的集合）中元素。例如編碼理論中會(huì)出現(xiàn)系數(shù)為有限域中元素的矩陣，以及有理數(shù)系數(shù)的矩陣。如果矩陣的系數(shù)所在域 K 不是代數(shù)閉域，那么在求矩陣的特征值時(shí)，由于特征值是相應(yīng)的特征多項(xiàng)式的根，可能不在系數(shù)域 K 中，而是在系數(shù)域的某個(gè)擴(kuò)域 L 中。反過(guò)來(lái)，如果考慮擴(kuò)域 L/K ，以及 L 中的一個(gè)元素 α α --> {\displaystyle \alpha } ，以及 L 中線性變換 m α α --> : x ? ? --> α α --> x {\displaystyle m_{\alpha }:\,x\mapsto \alpha x} ，那么由于 m α α --> {\displaystyle m_{\alpha }} 也是一個(gè) K -線性變換，它可以表示成一個(gè) n × n 的 K 系數(shù)矩陣 X α α --> {\displaystyle X_{\alpha }} ，其中的 n 是擴(kuò)域 L/K 的階數(shù)。 α α --> {\displaystyle \alpha } 是這個(gè)矩陣的特征值，這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式 p X α α --> {\displaystyle p_{X_{\alpha }}} 是 α α --> {\displaystyle \alpha } 在 K 中的最小多項(xiàng)式 min K ? ? --> ( α α --> ) {\displaystyle \operatorname {min} _{\mathbf {K} }(\alpha )} 的冪次：

更一般的情況是矩陣的元素屬于某個(gè)環(huán) R 。環(huán)是比域更廣泛的概念，只要求其中元素能夠進(jìn)行加減法和乘法運(yùn)算（不一定能定義除法）。給定一個(gè)環(huán) R ， M ( m , n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )} 中的矩陣之間可以相互加減以及相乘，所以 M ( m , n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )} 關(guān)于矩陣的加法和乘法也構(gòu)成一個(gè)環(huán)，稱(chēng)為矩陣環(huán)。 n 維方陣的環(huán) M ( n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\mathbf {R} )} 與左 R -模 R 的自同態(tài)環(huán)同構(gòu) 。

若 R 是交換環(huán)，則 M ( m , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,\mathbf {R} )} 是一個(gè)帶單位元的 R -代數(shù)，滿足結(jié)合律，但不滿換律。其中的矩陣仍然可以用萊布尼茲公式定義行列式。一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)其行列式為環(huán) R 中的可逆元（域上的矩陣可逆只需行列式不等于0） 。

矩陣與線性變換

前面已經(jīng)提到，所有 R → R 的線性變換都對(duì)應(yīng)著一個(gè) M ( m , n , R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(m,n,\mathbf {R} )} 中的矩陣。更一般地，給定了基底后，任意兩個(gè)有限維線性空間之間的線性映射 f : V → W 也對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣 A f = ( a ij )。設(shè)空間 V 和 W 的基底分別是 v 1 , ..., v n 和 w 1 , ..., w m ，那么

矩陣 A f 實(shí)際上“記錄”了 V 中每個(gè)基底向量經(jīng)過(guò)變換后得到的 W 中的像在基底( w 1 , ..., w m )下的形式。要注意矩陣的內(nèi)容取決于基底的選擇?？梢哉f(shuō)，矩陣是線性變換 f 在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述 f 的矩陣是不同的，但這些矩陣都是相似矩陣 。與矩陣有關(guān)的基本概念都可以用線性變換的層面來(lái)解釋?zhuān)热缫粋€(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置可以用 f 的對(duì)偶變換 f : W → V 來(lái)表示 。

當(dāng)矩陣的元素是帶單位元的環(huán) R 中的元素時(shí)， m × n 的 R -矩陣對(duì)應(yīng)的則是 R -自由模 R 和 R 之間的 R -線性變換。 n = m 的時(shí)候，這些 R -線性變換可以相互復(fù)合，因此 n 維的 R -矩陣環(huán)能夠與 R -自同態(tài)環(huán) R 同構(gòu)。

矩陣群

群是比環(huán)更寬泛的代數(shù)結(jié)構(gòu)，只需要集合配備一個(gè)滿足結(jié)合律的二元運(yùn)算，即將兩個(gè)群內(nèi)元素映射到群內(nèi)一元素的運(yùn)算。矩陣群是指矩陣關(guān)于矩陣乘法組成的群 。顯然，只有方塊矩陣才能構(gòu)成乘法群。所有 n 維的可逆方陣構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為 n 階一般線性群。由于群內(nèi)每個(gè)元素都必須是可逆的，任意的矩陣群都必然是一般線性群的子群。

能夠在矩陣乘法和求逆矩陣運(yùn)算下保持的性質(zhì)都可以用來(lái)刻畫(huà)一定的矩陣群。例如所有行列式為1的矩陣可以構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為 n 階特殊線性群 。所有 n 維的正交矩陣，即滿足：

的矩陣 M 也構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為 n 階正交群 。正交矩陣得名于它在 R 中對(duì)應(yīng)的線性變換具有保角性，也就是說(shuō)對(duì)基本的點(diǎn)積，滿足

每個(gè)有限群都同構(gòu)于一個(gè)矩陣群。實(shí)際上，每個(gè)有限群都同構(gòu)于某個(gè)置換群的子群，而每個(gè)置換群都同構(gòu)于一個(gè)矩陣群（見(jiàn)置換群的正則群表示 ）鑒于矩陣群的性質(zhì)可以通過(guò)與矩陣相關(guān)的更多手段更好地理解，常常通過(guò)研究矩陣群來(lái)研究一個(gè)有限群。相關(guān)的理論稱(chēng)為群表示論。

無(wú)限維矩陣

無(wú)窮維矩陣可以指行數(shù)或列數(shù)無(wú)窮大，或兩者都是無(wú)窮大的矩陣 。盡管這樣的矩陣無(wú)法完整寫(xiě)出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以對(duì)它進(jìn)行矩陣操作和運(yùn)算。這里矩陣的行數(shù)和列數(shù)甚至不一定需要是可數(shù)集。需要注意的是，無(wú)窮維矩陣的乘法涉及到無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，因此只有在相關(guān)的無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的時(shí)候，才能定義矩陣的乘積 。無(wú)限維矩陣也可以是方塊矩陣，定義為行標(biāo)記集合與列標(biāo)記集合相同的矩陣（如 N × × --> N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } ） 。

無(wú)限矩陣無(wú)法定義通常意義上的行列式，因此可逆矩陣不一定是方塊矩陣，同理，酉矩陣也不一定要是方塊矩陣 。

空矩陣

空矩陣是指行數(shù)或列數(shù)為零的矩陣?？站仃嚨亩x可以完善一些關(guān)于零維空間的約定。包括約定一個(gè)矩陣與空矩陣相乘得到的也是空矩陣，兩個(gè) n ×0和0× p 的空矩陣相乘是一個(gè) n × p 的零矩陣（所有元素都是零的矩陣）。0×0的空矩陣的行列式約定為1，所以它也可以有逆矩陣，約定為它自己 。

分塊矩陣

分塊矩陣 是指一個(gè)大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣

可分割成4個(gè)2×2的矩陣

應(yīng)用

矩陣在許多領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛。有些時(shí)候用到矩陣是因?yàn)槠浔磉_(dá)方式緊湊，例如在博弈論和經(jīng)濟(jì)學(xué)中，會(huì)用收益矩陣來(lái)表示兩個(gè)博弈對(duì)象在各種決策方式下的收益 。文本挖掘和索引典匯編的時(shí)候，比如在TF-IDF方法中，也會(huì)用到文件項(xiàng)矩陣來(lái)追蹤特定詞匯在多個(gè)文件中的出現(xiàn)頻率 。

復(fù)數(shù)可以用實(shí)系數(shù)的2×2矩陣表示：

這種表示法與復(fù)數(shù)的加減法、乘法都相兼容。比如，2×2的旋轉(zhuǎn)矩陣可以用來(lái)表示模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)，一個(gè)向量乘以此旋轉(zhuǎn)矩陣可以視作一個(gè)復(fù)數(shù)乘以該模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)。對(duì)四元數(shù)也有類(lèi)似的矩陣表達(dá) 。

早期的密碼技術(shù)如希爾密碼也用到矩陣。然而，矩陣的線性性質(zhì)使這類(lèi)密碼相對(duì)容易破解 。計(jì)算機(jī)圖像處理也會(huì)用到矩陣來(lái)表示處理對(duì)象，并且用放射旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)計(jì)算對(duì)象的變換，實(shí)現(xiàn)三維對(duì)象在特定二維屏幕上的投影 。多項(xiàng)式環(huán)上的矩陣在控制論中有重要作用。

化學(xué)中也有矩陣的應(yīng)用，特別在使用量子理論討論分子鍵和光譜的時(shí)候。具體例子有解羅特漢方程時(shí)用重疊矩陣和?？戮仃噥?lái)得到哈特里－福克方法中的分子軌道。

圖論

  一個(gè)無(wú)向圖的鄰接矩陣 [ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}} 。

圖論中可以用矩陣描述一個(gè)有限圖 。這個(gè)矩陣叫做相關(guān)矩陣的鄰接矩陣，記錄了圖的每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)之間是否有邊連接。對(duì)簡(jiǎn)單圖來(lái)說(shuō)，鄰接矩陣的元素只取兩個(gè)值：0和1,第 i 行第 j 列上取值為0，表示沒(méi)有從第 i 個(gè)頂點(diǎn)連到第 j 個(gè)頂點(diǎn)的邊，取值為1則說(shuō)明有。如果是一般情況的話，第 i 行第 j 列上的取值是從第 i 個(gè)頂點(diǎn)連到第 j 個(gè)頂點(diǎn)的邊的數(shù)目。距離矩陣則是表示圖中各頂點(diǎn)之間距離的矩陣 。在研究互聯(lián)網(wǎng)等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候，鄰接矩陣常常會(huì)是稀疏矩陣。因此網(wǎng)絡(luò)理論中有專(zhuān)門(mén)研究稀疏矩陣的方面。

數(shù)學(xué)分析

在多元函數(shù)微積分學(xué)中，對(duì)二階偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù) f : R → R ，可以定義其海森矩陣 ：

  n=2時(shí)，海森矩陣 [ 2 0 0 ? ? --> 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\end{bmatrix}}} 的特征值一正一負(fù)，說(shuō)明函數(shù) f ( x , y ) = x ? y 在 ( x = 0, y = 0)處有一個(gè)鞍點(diǎn)（紅色點(diǎn)）

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，僅當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)上的二階偏導(dǎo)數(shù)存在，才能定義這一點(diǎn)上的海森矩陣。海森矩陣給出了函數(shù)在這一點(diǎn)的變化率方面的信息。當(dāng)給定的點(diǎn) x = ( x 1 , ..., x n )是函數(shù)平穩(wěn)點(diǎn)（即函數(shù) f 在這一點(diǎn)上的一階偏導(dǎo)數(shù) ? ? --> f ? ? --> x i {\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} 都是0）時(shí)，就需要利用海森矩陣來(lái)查看函數(shù)在這一點(diǎn)周?chē)脑鲩L(zhǎng)特性。多元函數(shù)在點(diǎn)泰勒x 的泰勒展開(kāi)是：

如果函數(shù)在點(diǎn) x 的一階偏導(dǎo)數(shù)都是0，那么 ? ? --> f = 0 {\displaystyle \nabla f=0} ，所以函數(shù)在 x 附近的變化于海決于海森矩陣 H ( f ) ( x ) {\displaystyle H(f)(x)} 的性質(zhì)。如果 H ( f ) ( x ) {\displaystyle H(f)(x)} 是正定矩陣，那么函數(shù)在點(diǎn) x 取得局部最小值，如果是負(fù)定矩陣，則函數(shù)在 x 取得局部最大值。在這類(lèi)情況下，關(guān)于函數(shù) f 的條件最優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于海森二次規(guī)劃次規(guī)劃問(wèn)題 。

矩陣在多元函數(shù)微積分中的另一個(gè)應(yīng)用是雅可比矩陣。函數(shù) f : R → R 在某一點(diǎn) x 上的一階偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，可以定義它在這點(diǎn)上的雅可比矩陣 ：

偏微分方程理論中，二階擬線性偏微分方程可以根據(jù)最高次偏導(dǎo)項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成的矩陣的正定性分類(lèi)。假設(shè)有一個(gè)二階擬線性偏微分方程：

記矩陣 A = [ a i j ] 1 ? ? --> i , j ? ? --> n {\displaystyle \mathbf {A} =\left[a_{ij}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}} 。如果矩陣 A 是正定或負(fù)定矩陣，那么就稱(chēng)方程( E )為橢圓形偏微分方程；如果 A 不可逆，就稱(chēng)( E )為拋物形偏微分方程，如果 A 可逆而且恰有 n - 1個(gè)特征值同號(hào)，就稱(chēng)( E )為雙曲型偏微分方程。其它情況下也稱(chēng)( E )為超雙曲形偏微分方程。不同類(lèi)型的方程解的形式也不一樣 。

用數(shù)值方法解偏微分方程時(shí)更需要用到矩陣。一個(gè)重要的方法是有限元方法，在求解各種物理中遇到的偏微分方程時(shí)廣泛使用。有限元方法的基本思想是用一系列“簡(jiǎn)單”函數(shù)的線性組合來(lái)“逼近”偏微分方程的精確解。這些“簡(jiǎn)單”函數(shù)通常是指將求解區(qū)域分割成一定數(shù)量的“小塊”后，僅在某一“小塊”上非零的分段線性函數(shù)。選定了網(wǎng)格和“簡(jiǎn)單”函數(shù)后，可以求解關(guān)于剛度矩陣的方程得到近似解。有限元理論中證明了在滿足一定的條件下，近似解將隨著網(wǎng)格趨于精細(xì)而弱收斂到精確解 。

概率論與統(tǒng)計(jì)

概率論中常用到隨機(jī)矩陣，即行向量是概率向量（即所有的元素都在0和1之間，并且加起來(lái)等于1的向量）的矩陣。隨機(jī)矩陣可用來(lái)定義有限概率空間中的馬爾可夫鏈。設(shè)隨機(jī)變量 X n {\displaystyle X_{n}} 是某個(gè)馬爾可夫鏈在 t = n {\displaystyle t=n} 時(shí)刻的狀態(tài)，所有可能的狀態(tài) S = { s 1 , s 2 , ? ? --> , s m } {\displaystyle S=\left\{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{m}\right\}} 稱(chēng)為狀態(tài)空間，那么隨機(jī)矩陣 M n n + 1 {\displaystyle M_{n}^{n+1}} 則記錄了假設(shè)已知 X n {\displaystyle X_{n}} 的可能情況下 X n + 1 {\displaystyle X_{n+1}} 做各種取值的可能性 。 M n n + 1 {\displaystyle M_{n}^{n+1}} 的第 i 行第 j 列上的元素表示當(dāng) X n = s j {\displaystyle X_{n}=s_{j}} 的時(shí)候， X n + 1 = s i {\displaystyle X_{n+1}=s_{i}} 的可能性。 M n n + 1 {\displaystyle M_{n}^{n+1}} 的第 j 行記錄了從 X n = s j {\displaystyle X_{n}=s_{j}} 轉(zhuǎn)移到 X n + 1 {\displaystyle X_{n+1}} 各種狀態(tài)的可能性。所以 M n n + 1 {\displaystyle M_{n}^{n+1}} 叫做 t = n {\displaystyle t=n} 時(shí)刻的轉(zhuǎn)移矩陣。如果馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣不隨時(shí)刻變化，則稱(chēng)為齊次馬爾可夫鏈。這時(shí)馬爾可夫鏈的吸引態(tài)可以通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)移矩陣的特征向量得到 。

統(tǒng)計(jì)學(xué)中也會(huì)用到各種不同的矩陣。描述統(tǒng)計(jì)學(xué)中常常需要用矩陣的形式來(lái)描述數(shù)據(jù)樣本，顯得更為緊湊。幾個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣表示它們之間的協(xié)方差關(guān)系，在某種程度上表示了它們相互間的關(guān)聯(lián)程度（但不絕對(duì)） 。

統(tǒng)計(jì)學(xué)中用到矩陣的另一個(gè)地方是線性回歸中的最小二乘法分析。當(dāng)觀測(cè)到隨機(jī)樣本 ( Y i , X i 1 , … … --> , X i p ) , i = 1 , … … --> , n {\displaystyle (Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),\,i=1,\ldots ,n} 時(shí)，線性回歸法的目標(biāo)是希望找到以下的線性關(guān)系：

即將變量 Y 表示成 X 的分量的線性組合與一個(gè)已知的隨機(jī)誤差的和。這個(gè)表示可以寫(xiě)成矩陣的形式，并利用矩陣的奇異值分解來(lái)分析 。

另一種隨機(jī)矩陣（ random matrix ）是指每個(gè)元素都是隨機(jī)變量的矩陣，這些隨機(jī)變量可以都遵循同一個(gè)分布，或各自遵循不同的分布。一個(gè)常見(jiàn)的例子是全部元素都是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量的隨機(jī)矩陣。這種隨機(jī)矩陣在數(shù)論和物理中也有應(yīng)用 。

物理學(xué)上的對(duì)稱(chēng)性及線性變換

更多資料：對(duì)稱(chēng)性 (物理學(xué))

線性變換及其所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)，在現(xiàn)代物理學(xué)中有著重要的角色。例如，在量子場(chǎng)論中，基本粒子是由狹義相對(duì)論的洛倫茲群所表示，具體來(lái)說(shuō)，即它們?cè)谛咳合碌谋憩F(xiàn)。內(nèi)含泡利矩陣及更通用的狄拉克矩陣的具體表示，在費(fèi)米子的物理描述中，是一項(xiàng)不可或缺的構(gòu)成部分，而費(fèi)米子的表現(xiàn)可以用旋量來(lái)表述 。描述最輕的三種夸克時(shí)，需要用到一種內(nèi)含特殊酉群SU(3)的群論表示；物理學(xué)家在計(jì)算時(shí)會(huì)用一種更簡(jiǎn)便的矩陣表示，叫蓋爾曼矩陣，這種矩陣也被用作SU(3)規(guī)范群，而強(qiáng)核力的現(xiàn)代描述──量子色動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)正是SU(3)。還有卡比博-小林-益川矩陣（CKM矩陣）：在弱相互作用中重要的基本夸克態(tài)，與指定粒子間不同質(zhì)量的夸克態(tài)不一樣，但兩者卻是成線性關(guān)系，而CKM矩陣所表達(dá)的就是這一點(diǎn) 。

量子態(tài)的線性組合

1925年海森堡提出第一個(gè)量子力學(xué)模型時(shí)，使用了無(wú)限維矩陣來(lái)表示理論中作用在量子態(tài)上的算子 。這種做法在矩陣力學(xué)中也能見(jiàn)到。例如密度矩陣就是用來(lái)刻畫(huà)量子系統(tǒng)中“純”量子態(tài)的線性組合表示的“混合”量子態(tài) 。

另一種矩陣是用來(lái)描述構(gòu)成實(shí)驗(yàn)粒子物理基石的散射實(shí)驗(yàn)的重要工具。當(dāng)粒子在加速器中發(fā)生碰撞，原本沒(méi)有相互作用的粒子在高速運(yùn)動(dòng)中進(jìn)入其它粒子的作用區(qū)，動(dòng)量改變，形成一系列新的粒子。這種碰撞可以解釋為結(jié)果粒子狀態(tài)和入射粒子狀態(tài)線性組合的標(biāo)量積。其中的線性組合可以表達(dá)為一個(gè)矩陣，稱(chēng)為S矩陣，其中記錄了所有可能的粒子間相互作用 。

簡(jiǎn)正模式

矩陣在物理學(xué)中的另一類(lèi)泛應(yīng)用是描述線性耦合調(diào)和系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以用矩陣的形式來(lái)表示，即用一個(gè)質(zhì)量矩陣乘以一個(gè)廣義速度來(lái)給出運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，用力矩陣乘以位移向量來(lái)刻畫(huà)相互作用。求系統(tǒng)的解的最優(yōu)方法是將矩陣的特征向量求出（通過(guò)對(duì)角化等方式），稱(chēng)為系統(tǒng)的簡(jiǎn)正模式。這種求解方式在研究分子內(nèi)部動(dòng)力學(xué)模式時(shí)十分重要：系統(tǒng)內(nèi)部由化學(xué)鍵結(jié)合的原子的振動(dòng)可以表示成簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的疊加 。描述力學(xué)振動(dòng)或電路振蕩時(shí)，也需要使用簡(jiǎn)正模式求解 。

幾何光學(xué)

在幾何光學(xué)里，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學(xué)是一種忽略了光波波動(dòng)性的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何射線。采用近軸近似，假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對(duì)于光線的作用，可以表達(dá)為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個(gè)分量是光線的幾何性質(zhì)（光線的斜率、光線跟光軸之間在 主平面 （ 英語(yǔ) ： principal plane ） 的垂直距離）。這矩陣稱(chēng)為光線傳輸矩陣，內(nèi)中元素編碼了光學(xué)元件的性質(zhì)。對(duì)于折射，這矩陣又細(xì)分為兩種：“折射矩陣”與“平移矩陣”。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個(gè)主平面?zhèn)鞑サ搅硪粋€(gè)主平面的平移行為。

由一系列透鏡或反射元件組成的光學(xué)系統(tǒng)，可以很簡(jiǎn)單地以對(duì)應(yīng)的矩陣組合來(lái)描述其光線傳播路徑。

電子學(xué)

在電子學(xué)里，傳統(tǒng)的 網(wǎng)目分析 （ 英語(yǔ) ： mesh analysis ） 或節(jié)點(diǎn)分析會(huì)獲得一個(gè)線性方程組，這可以以矩陣來(lái)表示與計(jì)算。

很多種電子元件的電路行為可以用矩陣來(lái)描述。設(shè)定 A {\displaystyle A} 為輸入向量，其兩個(gè)分量為輸入電壓 v 1 {\displaystyle v_{1}} 與輸入電流 i 1 {\displaystyle i_{1}} 。設(shè)定 B {\displaystyle B} 為輸出向量，其兩個(gè)分量為輸出電壓 v 2 {\displaystyle v_{2}} 與輸出電流 i 2 {\displaystyle i_{2}} 。這電子元件的電路行為可以描述為 B = H ? ? --> A {\displaystyle B=H\cdot A} ；其中， H {\displaystyle H} 是2×2矩陣，內(nèi)阻抗個(gè)阻抗元素 h 12 {\displaystyle h_{12}} 、一個(gè)導(dǎo)納元素 h 21 {\displaystyle h_{21}} 、兩個(gè)無(wú)量綱元素 h 11 {\displaystyle h_{11}} 與 h 22 {\displaystyle h_{22}} 。這樣，電路的計(jì)算可以約化為矩陣計(jì)算。

參見(jiàn)

矩陣論專(zhuān)有名詞表：有關(guān)矩陣論所用到的名詞的定義

方塊矩陣

矩陣范數(shù)

雅可比矩陣

注釋與參考

腳注

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