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性質(zhì)

凡辛矩陣皆可逆，其逆矩陣可表為

因此，辛矩陣具有如下運算性質(zhì)：

此外，辛矩陣構成的集合在矩陣乘法下封閉，因此一個域F{\displaystyle F}上的所有2n{\displaystyle 2n}階辛矩陣構成一個群，記為Sp(2n,F){\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}。事實上它是GL(2n,F){\displaystyle \mathrm {GL} (2n,F)}的閉代數(shù)子群，其維度為n(2n+1){\displaystyle n(2n+1)}。當F=R,C{\displaystyle F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} }時，Sp(2n,F){\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)}帶有自然的（復）李群結構。

由定義可知辛矩陣的行列式等于± ± -->1{\displaystyle \pm 1}；事實上，可以利用Pfaffian的公式：

由于MTΩ Ω -->M=Ω Ω -->{\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega }、Pf(Ω Ω -->)≠ ≠ -->0{\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}，遂導出det(M)=1{\displaystyle det(M)=1}。

當n=1{\displaystyle n=1}時，有Sp(2)=SL(2){\displaystyle \mathrm {Sp} (2)=\mathrm {SL} (2)}。換言之：二階扭對稱矩陣即行列式等于一的二階矩陣。

扭對稱變換

在線性代數(shù)的抽象框架里，我們可以用偶數(shù)維向量空間V{\displaystyle V}上的線性變換取代偶數(shù)階矩陣，并固定一個非退化反對稱雙線性形ω ω -->:V× × -->V→ → -->F{\displaystyle \omega :V\times V\to F}以取代矩陣Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }（賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間），如此便得到與基底無關的定義：

考慮η η -->:=∧ ∧ -->dim? ? -->V2ω ω -->{\displaystyle \eta :=\wedge ^{\frac {\dim V}{2}}\omega }，由于L? ? -->(ω ω -->)=ω ω -->{\displaystyle L^{*}(\omega )=\omega }，故L? ? -->(η η -->)=η η -->{\displaystyle L^{*}(\eta )=\eta }；另一方面，L? ? -->(η η -->)=(detL)? ? -->η η -->{\displaystyle L^{*}(\eta )=(\det L)\cdot \eta }，于是得到detL=1{\displaystyle \det L=1}。由此導出扭對稱變換之行列式值等于一。

固定V{\displaystyle V}的一組基，借此將L{\displaystyle L}寫成矩陣M{\displaystyle M}，并將ω ω -->{\displaystyle \omega }表成斜對稱矩陣Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }，便回到先前的定義：

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辛向量空間

辛群

辛表示（英語：Symplectic representation）

正交矩陣

酉矩陣

哈密頓力學

正則變換

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