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基本例子

在一個交換環(huán) R 上 n × n 矩陣集合 MR(n,n) 在矩陣加法與乘法下自身是一個環(huán)。 MR(n,n) 的單位群稱為在環(huán) R 上 n × n 矩陣的一般線性群，記作 GLn(R) 或 GL(n,R)。所有矩陣群是某個一般線性群的子群。

典型群

某些特別有趣的矩陣群是所謂的典型群。當矩陣群的系數(shù)環(huán)是實數(shù)，這些群是典型李群。當?shù)篆h(huán)是一個有限域，典型群是李型群。這些群在有限單群分類中起著重要的作用。

有限群作為矩陣群

任何有限群同構于某個矩陣群。這類似于凱萊定理說每個有限群同構于某個置換群。因為同構性質(zhì)是傳遞的，我們只需考慮怎樣從一個置換群構造一個矩陣群。

令 G 是在 n點 (Ω = {1,2,…,n}) 上的置換群，設 {g1,...,gk} 是 G 的一個生成集合。復數(shù)上 n×n 矩陣的一般線性群 GLn(C) 自然作用在向量空間 C 上。設 B={b1,…,bn} 是 C 的標準基。對每個 gi 令 Mi 屬于 GLn(C) 是將每個 bj 送到 bgi(j) 的一個矩陣。這就是如果置換 gi 將點 j 送到 k 則 Mi 將基向量 bj 送到 bk。 令 M 是 GLn(C) 中由 {M1,…,Mk} 生成的子群。G 在 Ω 上的作用恰好與 M 在 B 上的作用相同?？梢宰C明將每個 gi 送到 Mi 的函數(shù)擴張成一個同構，這樣每個置換群同構于一個子群。

注意到域（上面用的是 C）是無關的，因為 M 包含的元素矩陣分量只是 0 或 1。容易對任意域可做同樣的構造，因為元素 0 和 1 在每個域中。

舉一例，令 G = S3，3 個點的對稱群。設 g1 = (1,2,3) 和 g2 = (1,2)，則

注意到 M1b1 = b2，M1b2 = b3 以及 M1b3 = b1。類似地，M2b1 = b2，M2b2 = b1 以及 M2b3 = b3。

表示論與特征標理論

線性變換與矩陣（一般地說）在數(shù)學中已被充分理解，在群的研究中被廣泛使用。特別是表示論研究從一個群到一個矩陣群的同態(tài)與特征標理論研究從一個群到由一個表示的跡給出的一個域的同態(tài)。

例子

李群列表（en:table of Lie groups），有限單群列表（list of finite simple groups），以及單李群列表（list of simple Lie groups）中有許多例子。

參見傳遞有限群列表（list of transitive finite linear groups）。

參考文獻

Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, t edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9

Wulf Rossmann, Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics), Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.

La géométrie des groupes classiques, J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X

The classical groups, H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7

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