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有限置換群

各種置換群中，有限集合上的置換群有著特殊的重要性。

稱 X 上的對(duì)稱群是S n 。 X 上所有的排列構(gòu)成了全部一一映射的集合，因此，S n 有n !個(gè)元素。對(duì) n > 2，S n 阿貝爾群貝爾群。當(dāng)且僅當(dāng) n ≤ 4時(shí)，S n 是可解群。對(duì)稱群的子群稱為置換群（en:permutation group）。

置換的乘積

對(duì)稱群中，兩個(gè)置換的乘積就是作為雙射的復(fù)合，只不過省略了符號(hào)"o"。例如：

f 與 g 的復(fù)合應(yīng)先適用 g ，其后適用 f 。那么，1將首先被變換成2然后再由2指向它自己; 2被變換成5，然后被變換成4; 3被變換成4，然后由4變成5，如此類推。所以， f 乘以 g 是：

容易證明長(zhǎng)度為L(zhǎng) = k·m 的輪換，的 k 次方會(huì)分解為 k 個(gè)長(zhǎng)度為 m 的輪換。比如：

對(duì)換

對(duì)換 指只交換集合中的兩個(gè)元素而使其他元素仍變換到自身的置換，例如(1 3)。每個(gè)置換都能寫成一系列對(duì)換的乘積。比如上例中的 g = (1 2)(2 5)(3 4)。

由于 g 能被寫成奇數(shù)個(gè)對(duì)換的乘積， g 是一個(gè) 奇置換 。與此相反的， f 是一個(gè)偶置換。

一個(gè)置換表達(dá)成對(duì)換乘積的方式不是唯一的，但每種表達(dá)方式中對(duì)換的個(gè)數(shù)的奇偶性不變，可以據(jù)此定義奇置換和偶置換。

兩個(gè)偶置換的乘積是偶置換，兩個(gè)奇置換的乘積是偶置換，奇置換和偶置換的乘積是奇置換，偶置換和奇置換的乘積是奇置換。于是可以定義置換的 正負(fù)號(hào) （sign）：

在這個(gè)定義下，

是一個(gè)群同態(tài)。({+1,-1}關(guān)于乘法構(gòu)成群)，這個(gè)同態(tài)的同態(tài)核是所有的偶置換，稱作n次交錯(cuò)群，記作A n 。它是S n 的正規(guī)子群，有 n ! / 2個(gè)元素。

置換的正負(fù)號(hào)也可以定義為：

其中n-O(n)表示置換 f 的 輪換指數(shù) ，O(n)表示置換 f 的 軌道 （orbit）數(shù)。群S n 是A n 和由一個(gè)單一對(duì)換生成的任何子群的半直積。

輪換

輪換 指一種置換 f ，使得對(duì)集合{1,..., n }中的某個(gè) x ， x , f ( x ), f ( x ), ..., f ( x ) = x 是 f 作用下不映射到自身的所有元素。比如說，以下的置換 h

就是一個(gè)輪換。因?yàn)?h (1) = 4, h (3) = 1， h (4) = 3。2，5不變。我們將這個(gè)輪換記作(1 4 3)，它的長(zhǎng)度是3。輪換的階數(shù)等于它的長(zhǎng)度。如果兩個(gè)輪換移動(dòng)的元素皆不相同，則稱它們 不交 。不交的輪換是可交換的，例如(3 1 4)(2 5 6) = (2 5 6)(3 1 4)。每個(gè)S n 中的元素都可以寫成若干個(gè)互不相交的輪換的乘積。如果不計(jì)輪換的排列次序，這種表示是唯一的。

共軛類

S n 的共軛類是對(duì)于置換輪換表達(dá)的結(jié)構(gòu)來說的。兩個(gè)置換共軛，當(dāng)且僅當(dāng)在它們的輪換表達(dá)中，輪換的數(shù)量以及長(zhǎng)度都相等。比如說，在S 5 中， (1 2 3)(4 5)與(1 4 3)(2 5)共軛，但不與(1 2)(4 5)共軛。

凱萊定理

推論：任意有限群都與某個(gè)置換群同構(gòu)。

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