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一維

其在等同構(gòu)下之圖像的點皆為拓?fù)溟]合之一維等距同構(gòu)群有：

當(dāng)然群C1

由一點之鏡射所產(chǎn)生之元素所組成的群；其同構(gòu)于C2

由平移所產(chǎn)生之無限離散群：其同構(gòu)于Z

由平移和一點的鏡射所產(chǎn)生之無限離散群：其同構(gòu)于Z的廣義二面體群Dih(Z)，亦被標(biāo)記為D∞（其為Z與C2的半直積）。

由所有平移（同構(gòu)于R）所產(chǎn)生的群；這個群不能是某一“圖像”的對稱群：它會是均勻的，因此亦能被鏡面。但一個均勻一維向量場則可以有這種對稱群。

由所以平移和一點之鏡射所組成的群：其同構(gòu)于R的廣義二面體群Dih(R)。

另見一維對稱群。

二維

以共軛來分，二維離散點群可以分成下列幾種類型：

C1、C2、C3、C4、…等循環(huán)群，其中Cn包含著所有繞一固定點為360/n度的整倍數(shù)之旋轉(zhuǎn)。

D1、D2、D3、D4、…等二面體群，其中Dn包含著所有在Cn中的旋轉(zhuǎn)和n個通過其固定點之軸的鏡射。

C1是一個只包含有恒等運(yùn)算的當(dāng)然群，其產(chǎn)生于一圖像沒有任何的對稱時，如字母F。C2為字母Z的對稱群，C3為三曲腿圖的，C4為卐的，而C5、C6則為有五條及六條臂之類卐圖像。

D1為一個含有恒等運(yùn)算和單一個鏡射之兩個元素的群，其產(chǎn)生于一盡有一對稱軸的圖像中，如字母A。D2（同構(gòu)于克萊因四元群）為一非等邊長方形的對稱群，而D3、D4則為正多邊形的對稱群。

兩種類型的實際對稱群對其旋轉(zhuǎn)中心都有著兩個自由度，而在二面體群中，多著一個鏡面方位的自由度。

剩余具有不動點之二維等距同構(gòu)群，其所有在等距同構(gòu)下之圖像的點皆為拓?fù)溟]合的有：

特殊正交群SO(2)，其包括繞著一固定點的所有旋轉(zhuǎn)；其亦稱為圓群S，為絕對值為1之復(fù)數(shù)所組成的乘法群。其為圓的“純”對稱群，且為Cn在連續(xù)群中的等價。不存在一以圓群為“全”對稱群之圖像，但對于一向量場則存在著（見三維中的例子）。

正交群O(2)，其包括所有繞一固定點的旋轉(zhuǎn)及對通過其固定點之軸的鏡射。這是一個圓的對稱群。其亦被可標(biāo)記為Dih(S)，因其為S的廣義二面體群。

對于無界圖像，其他的等距同構(gòu)群還包括平移；其閉合對稱群有：

7個彩帶群

17個壁紙群

對每一個一維對稱群，其于一方向上之群的所有對稱及在其垂直方向上之所有平移的群所組成之對稱群

同上，但再加上第一個方向的鏡射

三維

以共軛來分，其三維點群的集合包括7種包含無限多個群的類型和剩下的7個點群。在晶格學(xué)中，其被局限在需符合晶格的離散平移對稱中。一般無限個點群中的晶體局限可以找出32種晶體點群（27種在7種類型中，5種在另7個點群中）。

見三維點群。

具一固定點的連續(xù)對稱群包括如下：

沒有垂直其軸之對稱面的圓柱對稱，這出現(xiàn)在如瓶子等物之上頭

有垂直其軸之對稱面的圓柱對稱

球面對稱

對物件和標(biāo)量場而言，圓柱對稱意指其有著直立鏡射面。但對向量場則不然：在相對于某一軸的圓柱座標(biāo)中， A=Aρ ρ -->ρ ρ -->^ ^ -->+A? ? -->? ? -->^ ^ -->+Azz^ ^ -->{\displaystyle \mathbf {A} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}} 有相對于此一軸的圓柱對稱當(dāng)且僅當(dāng)Aρ ρ -->{\displaystyle A_{\rho }}、A? ? -->{\displaystyle A_{\phi }}和Az{\displaystyle A_{z}}都有此一對稱，即其都和φ無關(guān)。另外地，其存在著鏡射對稱當(dāng)且僅當(dāng)Aφ=0。

對于球面對稱，則不存在著如此差異，其皆意指著有鏡射面。

沒有固定點的連續(xù)對稱群則包括具有如無限螺旋之螺旋軸對稱的對稱群。另見歐幾里得群的子群。

一般對稱群

在更廣義的文句中，對稱群可能為任一種類的變換群或自同構(gòu)群。一旦知道了所關(guān)注的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之種類，應(yīng)該就夠確定保留其結(jié)構(gòu)之映射。相反地，知道其對稱即可定義其結(jié)構(gòu)，或至少能弄清其內(nèi)之不變量；這是看愛爾蘭根綱領(lǐng)的一種方式。

例如，有限幾何某些模型的自同構(gòu)群在一般意思下不是“對稱群”，盡管其亦會保留對稱性。其保留著點集族，而非點集（或“物件”）本身。見pattern groups。

如上面所述，空間自同構(gòu)的群會形成一于其內(nèi)物件之群作用。

對于一給定之幾何空間內(nèi)的一給定之幾何形狀，考慮如下之等價關(guān)系：兩個空間自同構(gòu)為等價的當(dāng)且僅當(dāng)兩個形狀的圖樣是相同的（此處所謂之“相同”并非為“在平移和旋轉(zhuǎn)下是相同”的意思，而是指“精確地相同”）。然后，此一相同之等價類即為此形狀的對稱群，且每一等價類皆會對應(yīng)到一個此形狀的同構(gòu)版本。

在每一對等價類之間都存在著一個雙射：第一個等價類之代表的逆元素與第二個等價類之代表復(fù)合。

在整個空間的一有限自同構(gòu)群里，其目為形狀之對稱群的目乘上此形狀同構(gòu)版本的數(shù)目。

例如：

歐幾里得空間的等距同構(gòu)，其形狀為長方形：其存在著無限多個等價類；每一個等價類都包括4個等距同構(gòu)。

空間為具歐幾里得度量的立方體；形狀包括和此空間同樣大小的立方體，其各面有著各式顏色或圖像；此一空間的自同構(gòu)為48個等距同構(gòu)；其狀形為各面有著不同顏色之立方體；此形狀會有著8個等距同構(gòu)的對稱群，及6個各含8個等距同構(gòu)的等價類，每個等價類都是此形狀的一個同構(gòu)版本。

比較拉格朗日定理 (群論)及其證明。

另見

對稱

一維對稱群

置換群

歐幾里得空間中等距同構(gòu)群的不動點

歐幾里得等距

群作用

點群

晶系

空間群

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