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對(duì)稱的數(shù)學(xué)模型

于一集合X內(nèi)的所有物件上，所考量的所有對(duì)稱運(yùn)算都可以模擬成一個(gè)群作用a : G × X → X，其在G內(nèi)的g及在X內(nèi)的x所映射出的值可以寫成g·x。若存在某些g使得g·x = y，則稱x及y為相互對(duì)稱的。對(duì)于任一個(gè)物件x，會(huì)有g(shù)·x = x的運(yùn)算g可以組成一個(gè)群，其稱為此物件的對(duì)稱群，為G之子群。若x的對(duì)稱群為當(dāng)然群，則x稱為不對(duì)稱的，不然即稱為對(duì)稱的。一普通的例子為，設(shè)G為一作用在一群函數(shù)x: V → W上的雙射g: V → V所組成的群，其作用為(gx)(v)=x(g(v))(即封閉在群作用下之此一函數(shù)的限制集合)。因此，空間之雙射所組成的群會(huì)導(dǎo)致一在其空間內(nèi)的“物件”上之群作用。x的對(duì)稱群包含有所有可使所有V內(nèi)的v，x(v)=x(g(v))的g。G為全空間都一致的物件之對(duì)稱群。某些G的子群可能不會(huì)為任何一個(gè)物件的對(duì)稱群。例如，若一包含有于V內(nèi)可使得g(v)=w的v和w，則只會(huì)有常數(shù)函數(shù)x的對(duì)稱群會(huì)包含此群。但無論如何，常數(shù)函數(shù)的對(duì)稱群即為G本身。

在向量場(chǎng)的一修正版本內(nèi)，可以有(gx)(v)=h(g,x(g(v)))，其中h的作用為根據(jù)g內(nèi)所做的旋轉(zhuǎn)及反轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)任何一個(gè)于x內(nèi)的向量及偽向量，及反轉(zhuǎn)任一向量(但無偽向量)，詳述請(qǐng)見物理中的對(duì)稱。x的對(duì)稱群包含有所有可使所有V內(nèi)的v，x(v)=h(g,x(g(v)))的g。在此一例子中，一常數(shù)函數(shù)的對(duì)稱群可能會(huì)是G的純子群：一常數(shù)向量只對(duì)繞其方向之軸的旋轉(zhuǎn)有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，及只有當(dāng)其為零時(shí)才有反轉(zhuǎn)對(duì)稱。

一般對(duì)于在歐幾里得空間內(nèi)對(duì)稱的觀念里，G為歐幾里得群E(n)，其為V為歐幾里得空間之等距同構(gòu)的群。一物件的旋轉(zhuǎn)群為對(duì)稱群若G被局限在direct isometries的群E(n)之中。(更廣義的，請(qǐng)見下一子節(jié))物件可以被模擬成一個(gè)函數(shù)x，其值為如顏色、密度、化學(xué)組成等性質(zhì)之選擇。依據(jù)不同的選擇，可以只考量點(diǎn)的集合之對(duì)稱(x只是位置v的布林函數(shù))，或是另一個(gè)極端地，右手與左手的所有構(gòu)造之對(duì)稱。

對(duì)于一給定的對(duì)稱群，其為物件的部分性質(zhì)，但其卻完整地定義了整個(gè)物件。根據(jù)其對(duì)稱性，考慮有著相同性質(zhì)的點(diǎn)等價(jià)，其等價(jià)類為空間本身上的群作用之軌道。如此只需要以每一個(gè)軌道上的一點(diǎn)中x的值來定義整個(gè)物件。一組如此的表示即形成了一個(gè)基本域。最小的基本域沒有對(duì)稱；在此意思下，即稱其對(duì)稱性依憑在不對(duì)稱上的。

一具有某一想要的對(duì)稱之物件可以由將每一個(gè)軌道選定一單一的函數(shù)值來產(chǎn)生。由一給定的物件x開始，可以以下列步驟來產(chǎn)生：

在一基本域(即物件的復(fù)制)上取值。

在軌道上的每一點(diǎn)上以平均值或總和來訂每一個(gè)軌道的值。

如果想要除了對(duì)稱群之外沒有其他多余的對(duì)稱的話，復(fù)制的物件則必須是不對(duì)稱的。

如上面所述，某些等距同構(gòu)的群不會(huì)是任何物件的對(duì)稱群，除非在向量場(chǎng)的修正模型里。例如，將此應(yīng)用在一維的所有平移的群上。其基本域只有一點(diǎn)，所以不可能使其為不對(duì)稱，因此任一“圖樣”在平移下不變亦會(huì)在鏡射下為不變(此為均勻“圖樣”)。

在向量場(chǎng)版本里，連續(xù)平移對(duì)稱不一定會(huì)導(dǎo)致鏡射對(duì)稱：函數(shù)值為常數(shù)，但若其含有非零向量，則其不會(huì)有鏡射對(duì)稱。若亦存在鏡射對(duì)稱，其常數(shù)函數(shù)值則不含有非零向量，但還是有可能含有非零偽向量。一個(gè)相對(duì)應(yīng)的三維例子為一無限長的圓柱體，其中有一垂直著軸的電流；其磁場(chǎng)(一偽向量)在圓柱體軸的方向，常數(shù)但非零。對(duì)于向量(尤其是電流密度)，其對(duì)稱性有在垂直著圓柱體的平面之對(duì)稱及圓柱對(duì)稱。沒有經(jīng)由圓柱軸的鏡面之圓柱對(duì)稱只在向量版本的對(duì)稱概念中有可能。一個(gè)相似的例子為繞其軸旋轉(zhuǎn)的圓柱體，其中磁場(chǎng)及電流密度分別被角動(dòng)量和速度替代。

一對(duì)稱群若被稱做其傳遞地作用在一物件之重復(fù)現(xiàn)象上，即表示對(duì)每一對(duì)現(xiàn)象的出現(xiàn)，存在一對(duì)稱運(yùn)算可將其中一個(gè)映射至另一個(gè)上。例如，在一維里，{...,1,2,5,6,9,10,13,14,...}的對(duì)稱群傳遞地作用在所有的點(diǎn)上，而{...,1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15,...}的則不傳遞地作用在每一點(diǎn)上。等價(jià)地是，第一個(gè)集合只有一個(gè)共軛類，而第二個(gè)集合則有兩個(gè)共軛類。

非等距對(duì)稱

如上面所述，G(空間本身的對(duì)稱群)可能異于歐幾里得群－等距同構(gòu)的群。

例子:

G為一相似變換的群，即一具有正交矩陣的標(biāo)量積之矩陣A的仿射變換。因此，擴(kuò)張被加了上來，自相似被認(rèn)為是對(duì)稱。

G為一具有其行列式為1或-1的矩陣A之仿射變換，即其面積不變之變換；此一增加了傾斜的鏡射對(duì)稱。

G是所有雙射仿射變換所組成的群。

在反演幾何里，G包含有點(diǎn)對(duì)稱。

更一般地，一個(gè)對(duì)合即定義了一個(gè)對(duì)應(yīng)于此對(duì)合的對(duì)稱。

指向?qū)ΨQ

鏡射對(duì)稱

鏡射對(duì)稱，或稱鏡面對(duì)稱，為一相對(duì)于鏡射的對(duì)稱性。

在二維里有一對(duì)稱的軸，而在三維里則有一對(duì)稱的平面。一物件或像貌和其變換的像為不可分時(shí)，即稱此為鏡面對(duì)稱的。

二維物件的對(duì)稱軸是一條線，因此又稱軸對(duì)稱或線對(duì)稱。任何落在同一條和對(duì)稱軸垂直的線，且距對(duì)稱軸有同樣距離的兩點(diǎn)，都會(huì)是相等的。另一種思考的方式為，若沿著軸將整個(gè)二維物件對(duì)折，則其兩個(gè)一半將完全吻合在一起：這兩個(gè)一半分別是其另一個(gè)的鏡像。所以正方形有四個(gè)對(duì)稱軸，因?yàn)橛兴姆N不同的方式可以將其邊角吻合地對(duì)折起來。一個(gè)圓有無限多個(gè)對(duì)稱軸，也是基于同一個(gè)理由。

若字母T沿著一垂直軸鏡射，其樣子會(huì)是一樣的。注意這有時(shí)稱做水平對(duì)稱，有時(shí)又稱做垂直對(duì)稱。故最好使用一個(gè)不模棱的說法，即“T有一垂直對(duì)稱軸”。

具有對(duì)稱性的三角形為等腰三角形，具有對(duì)稱性的四方形為鳶形和等腰梯形。

對(duì)鏡射的線或平面而言，其對(duì)稱群是同構(gòu)于Cs的(見三維空間的點(diǎn)群)，三種order two的其中一種，因此代數(shù)地為C2。其基本域?yàn)榘肫矫婊虬肟臻g。

兩側(cè)對(duì)稱動(dòng)物(包括人類)或多或少都有著對(duì)矢狀切面的對(duì)稱。

在某些文章中，鏡射對(duì)稱是指旋轉(zhuǎn)對(duì)稱而鏡面對(duì)稱則等價(jià)于反演對(duì)稱；在當(dāng)代物理中的此類文章中，P-對(duì)稱此一名詞被使用在兩種意義上(P指parity(對(duì)偶))。

對(duì)于更廣泛種類的鏡射，存在著相對(duì)應(yīng)的更廣泛種類的鏡射對(duì)稱。例如：

對(duì)應(yīng)于非等距同構(gòu)仿射對(duì)合(一在線和平面上等的斜鏡射)。

對(duì)應(yīng)于圓反演。

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱是對(duì)應(yīng)于m維歐幾里得空間內(nèi)某些或所有旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱。旋轉(zhuǎn)為一直接等距同構(gòu)，即保持定向的等距同構(gòu)。因此，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的對(duì)稱群為E+(m)的子群。(見歐幾里得群)

繞所有點(diǎn)的所有旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱表示著對(duì)應(yīng)著所有平移的平移對(duì)稱，且其對(duì)稱群為整個(gè)E+(m)。這不可以應(yīng)用在物件上，因?yàn)樗屨麄€(gè)空間變均勻，但它可能可以應(yīng)用在物理定律上。

對(duì)于繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱，可以將此點(diǎn)取為原點(diǎn)。這些旋轉(zhuǎn)形成了特殊正交群SO(m)，行列式為1的m×m正交矩陣所組成的群。m=3時(shí)，其為旋轉(zhuǎn)群。

在此字的另一個(gè)意思里，一物件的旋轉(zhuǎn)群是E+(n)內(nèi)的對(duì)稱群；換句話說，是全對(duì)稱群與直接等距同構(gòu)群的交集。對(duì)于手征物件而言，這和全對(duì)稱群是一樣的。

一物理定律若是SO(3)-不變的，即表示它們不會(huì)因在空間的方向不同而有不同。根據(jù)諾特定理，一物理系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱是等價(jià)于角動(dòng)量守恒定律。詳見旋轉(zhuǎn)不變性。

平移對(duì)稱

平移對(duì)稱是指一物件在平移Ta(p) = p + a的離散或連續(xù)群之下為不變的。

滑移鏡射對(duì)稱

滑移鏡射對(duì)稱指對(duì)一線或一面做鏡射加上沿著此線或此面做平移后會(huì)有同樣的物件的對(duì)稱。It implies translational symmetry with twice the translation vector.

其對(duì)稱群和Z同構(gòu)。

旋鏡射對(duì)稱

在三維里，旋鏡射或稱不純旋轉(zhuǎn)在直觀上是指繞一軸旋轉(zhuǎn)再加上垂直于此軸的平面之鏡射。對(duì)應(yīng)于旋鏡射的對(duì)稱群可以被區(qū)分成：

旋轉(zhuǎn)角度和360度無公約數(shù)，其對(duì)稱群為不離散的。

對(duì)稱組合

對(duì)稱與分形

分形(通常)是一種在不同尺度上看起來都一樣的形狀。另一種說法是其在尺度轉(zhuǎn)換下是對(duì)稱的。此一對(duì)稱是其美學(xué)展現(xiàn)的立基之處。

相似對(duì)相同

盡管兩個(gè)物件有著極大的相似度而使其看起來是相同的，但它們?cè)谶壿嬌媳仨毷遣煌?。例如，若繞一等腰三角形之中心旋轉(zhuǎn)120度，則它會(huì)和旋轉(zhuǎn)前看起來是一樣的。在理論歐幾里得空間內(nèi)，如此的旋轉(zhuǎn)和其原本的形式是不可分的。但在真實(shí)的世界里，任一由物質(zhì)所組成的等腰三角形之任一角都必須有著不同的分子在不同的位置上。因此，現(xiàn)實(shí)物理世界上的物件之對(duì)稱是一樣相似，而非相同。一個(gè)智力要能去區(qū)分如此看似精確的相似之困難度是可想而知的。

更多在幾何上的對(duì)稱

德國幾何學(xué)家菲利克斯·克萊因在1872年發(fā)表了一個(gè)非常有影響力的愛爾蘭根綱領(lǐng)，猜測(cè)對(duì)稱會(huì)是幾何學(xué)中統(tǒng)合且organising的原理。這是一個(gè)廣泛大于深?yuàn)W的原理。一開始，它使人對(duì)和幾何有關(guān)的群和變換幾何這個(gè)術(shù)語感到興趣(以新數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，但在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)實(shí)作中則很難會(huì)產(chǎn)生爭(zhēng)議)。到了現(xiàn)在，它已經(jīng)以各種不同的形式被應(yīng)用著，有如各種問題的標(biāo)準(zhǔn)切入點(diǎn)。

在分形里，有著如本華·曼德博所述的有關(guān)大小的對(duì)稱性。例如，一個(gè)等腰三角形可以將其每一邊縮短原邊長的三分之一而縮小。此一較小的三角形可以旋轉(zhuǎn)及平移，直到它們和原三角形的邊長相黏，且分別在原三角形的各邊的中心。重復(fù)其步驟，使更小的三角形黏在最小的三角形中。奇妙的復(fù)雜結(jié)構(gòu)便可以經(jīng)由重復(fù)此一尺度對(duì)稱運(yùn)算許多次后被創(chuàng)造出來。

若一結(jié)構(gòu)有一對(duì)稱面，則對(duì)于每一此結(jié)構(gòu)的部分，有著兩種可能性：

此一部分有著其自己的對(duì)稱面(相同一面)。

它有一個(gè)鏡像物。

邏輯中的對(duì)稱

一二元關(guān)系R是對(duì)稱的當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)Rab為真時(shí)，Rba也必為真。因此，“…的年齡和…一樣”是對(duì)稱的，因?yàn)槿粜↑S的年齡和老王一樣，則老王的年齡和小黃一樣。

對(duì)稱的二元邏輯運(yùn)算符有邏輯與(∧, ∧ ∧ --> {\displaystyle \land } , or 邏輯或邏輯或(∨)、雙條件(當(dāng)且僅當(dāng))(?)、NAND、XOR和NOR。

生物學(xué)中的對(duì)稱

化學(xué)中的對(duì)稱

藝術(shù)和工藝的對(duì)稱

近似對(duì)稱：運(yùn)用相似的形，放在希望平衡的中心四周。運(yùn)用形的變化，使其產(chǎn)生一種均衡關(guān)系的感覺，以免視覺上過于單調(diào)。

軸對(duì)稱：構(gòu)圖元件在中央軸任何一邊的平衡排列。

輻射狀對(duì)稱：從中心點(diǎn)往至少三方發(fā)散出去，視覺強(qiáng)度與特性相似的形式排列。

對(duì)稱可以在藝術(shù)和工藝廣泛的各領(lǐng)域中找到其各種應(yīng)用。

建筑學(xué)

陶器

File:Persian Pottery.jpg

古代中國使用的對(duì)稱格局的青銅鑄件自公元前17世紀(jì)青銅器展出雙邊主序和重復(fù)翻譯界的設(shè)計(jì)。波斯陶器歷史可以追溯到公元前6000采用對(duì)稱的曲折，立方體，和跨畫剖面線。

Links:

Chinavoc: The Art of Chinese Bronzes

Grant: Iranian Pottery in the Oriental Institute

The Metropolitan Museum of Art - Islamic Art

被褥

File:Kitchen kaleid.svg

隨著棉被是由方形區(qū)塊（通常是9 ， 16 ，或25件，以塊）與每個(gè)小片通常組成的三角結(jié)構(gòu)，工藝本身容易的應(yīng)用對(duì)稱性。

Links:

Quate: Exploring Geometry Through Quilts

Quilt Geometry

地毯

File:Orientalrug.JPG

悠久的傳統(tǒng)使用的地毯對(duì)稱格局涵蓋了各種文化。美國的納瓦霍印第安人使用的大膽對(duì)角線和矩形圖案。許多東方地毯已錯(cuò)綜復(fù)雜的反映中心和邊界，把一種模式。不足為奇的最地毯使用四邊形對(duì)稱-一個(gè)主題既反映了各地的橫向和縱向軸線。

Links:

Mallet: Tribal Oriental Rugs

Dilucchio: Navajo Rugs

音樂

類型

對(duì)稱性已被用作一個(gè)正式的形式典范，許多作曲家如史蒂夫帝國，巴爾托克，詹姆斯坦尼所使用的拱橋形式（ ABCBA ） 。在古典音樂，巴赫使用了對(duì)稱的概念，置換上下聲部；見(外部鏈接 "賦格曲第21號(hào),"pdf或Shockwave)，倒轉(zhuǎn)卡農(nóng)曲。

音高結(jié)構(gòu)

上行音階與下行音階就是最簡(jiǎn)單的對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

等價(jià)

音列的逆行，屬于橫向?qū)ΨQ；音類集和弦的轉(zhuǎn)位，屬于垂直對(duì)稱。另，請(qǐng)參見不對(duì)稱的節(jié)奏。

其他手工藝

凱爾特編織物

對(duì)稱的觀念被應(yīng)用在所有有關(guān)形狀及大小的物件之設(shè)計(jì)上，在珠飾、家具、沙畫、編織、面具及樂器等設(shè)計(jì)上都可以找到有關(guān)對(duì)稱的觀念存在著。

美學(xué)

文學(xué)中的對(duì)稱

社會(huì)學(xué)中的對(duì)稱

人們觀察到在各種環(huán)境中的社會(huì)交往的對(duì)稱性，通常包括不對(duì)稱的平衡。包括對(duì)互惠，共情，同情，道歉，對(duì)話，尊重，正義和報(bào)復(fù)的評(píng)價(jià)。 反思平衡是通過在一般原則和具體判斷之間進(jìn)行協(xié)商相互調(diào)整可以實(shí)現(xiàn)的平衡。 對(duì)稱交互發(fā)送的道德信息是“我們都一樣”，而不對(duì)稱的交互可能發(fā)送的消息是“我是特別的，比你更好”。同行評(píng)審，例如可以由黃金法則支配，基于對(duì)稱性，而權(quán)力關(guān)系則基于不對(duì)稱性。對(duì)稱關(guān)系在一定程度上可以通過在對(duì)稱游戲中看到的簡(jiǎn)單（博弈）策略來維持，例如投桃報(bào)李。

通訊中的對(duì)稱

某些通訊服務(wù)(尤其是資料傳輸)可能會(huì)提到是對(duì)稱的或不對(duì)稱的。這是指其資料傳送出去和接收進(jìn)來的帶寬是否相同。大部分互聯(lián)網(wǎng)所提供的服務(wù)為不對(duì)稱的：由主機(jī)傳出的資料一般會(huì)遠(yuǎn)小于主機(jī)所接收的資料。

心理上的對(duì)稱

以直報(bào)直

Reciprocity

Golden Rule

移情&同情

反思平衡

另見

對(duì)稱 (數(shù)學(xué))

對(duì)稱群

不對(duì)稱（英語：asymmetry）

手征性

歐幾里得空間等距群的不動(dòng)點(diǎn)-對(duì)稱的核心

自發(fā)性對(duì)稱破壞

哥德爾、埃舍爾、巴赫

毛瑞特斯·柯奈利斯·艾雪

壁紙群

密鋪平面

不對(duì)稱節(jié)奏

奇函數(shù)與偶函數(shù)

動(dòng)態(tài)對(duì)稱

Polyomino

Polyiamond

伯恩賽德引理

時(shí)空對(duì)稱

半度量空間（有時(shí)會(huì)在俄文中被翻成對(duì)稱）

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