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初步定義

在定義分離公理之前，讓我們先了解在拓?fù)淇臻g中，可分離的集合(和點(diǎn))的具體含意。（須注意的是，可分離的集合不一定等同于下一節(jié)所定義的“分離空間”。）

分離公理是利用拓?fù)涞姆椒▉矸洲k不相交的集合及相區(qū)別的點(diǎn)。不只要拓?fù)淇臻g內(nèi)的元素是相區(qū)別的，更要這些元素是“拓?fù)淇蓞^(qū)別的”；不只要拓?fù)淇臻g內(nèi)的子集是不相交的，更要這些子集是（以某種方式）“可分離的”。分離公理聲稱，無論如何，若點(diǎn)或集合在某些較弱意思下是可區(qū)別的或可分離的，也必須在某些較強(qiáng)的意思下是可區(qū)別或可分離的。

設(shè)X為一拓?fù)淇臻g，A,B ? X，R是實(shí)數(shù)集，定義：

對(duì)于X中的點(diǎn)x，y（或點(diǎn)x和子集A），稱它們?yōu)橥負(fù)淇煞?，可分離，鄰域可分離等等，當(dāng)且僅當(dāng)單元素集合{x}和{y}（或{x}和子集A）是拓?fù)淇煞?，可分離，鄰域可分離等等。

以上這些條件是按強(qiáng)度依序給出的：任何兩個(gè)拓?fù)淇蓞^(qū)分的點(diǎn)也必然是相區(qū)分的，任何兩個(gè)分離的點(diǎn)也必然是拓?fù)淇蓞^(qū)分的。更進(jìn)一步地說，任何兩個(gè)可分離的集合也必然是不相交的，任何兩個(gè)領(lǐng)域上可分離的集合也必然是可分離的，以此類推。

上述條件更詳細(xì)的敘述(包括分離公理外的用途)，請(qǐng)參見分離集合和拓?fù)洳豢蓞^(qū)分性等條目。

主要定義

下面的定義都會(huì)直接使用到上面的初步定義。

大部分的分離公理都會(huì)另一個(gè)等價(jià)的定義；下面所給出的定義會(huì)維持一致的模式，以和上一節(jié)所定義的許多分離的概念相連結(jié)。其他等價(jià)的定義則分別寫在個(gè)別的條目之中。

在下面所有的定義之中， X 也還是個(gè)拓?fù)淇臻g，而所有的函數(shù)也都被假設(shè)為連續(xù)的。

X 稱為 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間或“柯爾莫果洛夫空間”，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的點(diǎn)皆為拓?fù)淇蓞^(qū)分的。

X 稱為R 0 空間或“對(duì)稱空間”，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)拓?fù)淇蓞^(qū)分的點(diǎn)都是可分離的。

X 稱為T 1 空間、“可及空間”或“弗雷歇空間”，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的點(diǎn)都是可分離的。因此， X 為T 1 空間，當(dāng)且僅當(dāng) X 同時(shí)為T 0 及R 0 空間。

X 稱為R 1 空間或“預(yù)正則空間”，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)拓?fù)淇蓞^(qū)分的點(diǎn)都是鄰域上可分離的。R 1 空間必然也是R 0 空間。

X 稱為 T 2 {\displaystyle T_{2}} 空間或“豪斯多夫空間”，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的點(diǎn)都是鄰域上可分離的。因此， X 為豪斯多夫空間，當(dāng)且僅當(dāng) X 同時(shí)為T 0 及R 1 空間。豪斯多夫空間必然也是T 1 空間。

X 稱為T 2? 空間或“烏雷松空間”，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的點(diǎn)都是閉鄰域上可分離的。T 2? 空間必然也是豪斯多夫空間。

X 稱為完全豪斯多夫空間或“完全T 2 空間”，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的點(diǎn)都是函數(shù)上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T 2? 空間。

X 稱為正則空間，若在 X 內(nèi)，給定一點(diǎn) x 及一閉集 F ，則若 x 不屬于 F ， x 和 F 即為鄰域上可分離的（實(shí)際上，在一個(gè)正則空間里， x 和 F 也同樣會(huì)是閉鄰域上可分離的）。正則空間必然也是R 1 空間。

X 稱為正則豪斯多夫空間或“ T 3 空間”，若 X 同時(shí)為T 0 及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T 2? 空間。

X 稱為完全正則空間，若在 X 內(nèi)，給定一點(diǎn) x 及一閉集 F ，則若 x 不屬于 F ， x 和 F 即為函數(shù)上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。

X 稱為吉洪諾夫空間、“ T 3? 空間”、“完全T 3 空間”或“完全正則豪斯多夫空間”，若 X 同時(shí)為T 0 及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時(shí)也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。

X 稱為正規(guī)空間，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的閉子集都是鄰域上可分離的（實(shí)際上，在正規(guī)空間里，任意兩個(gè)相區(qū)別的閉子集也同樣會(huì)是函數(shù)上可分離的；這稱為烏雷松引理）。

X 稱為正規(guī)豪斯多夫空間或“T 4 空間”，若 X 同時(shí)為T 1 及正規(guī)空間。正規(guī)豪斯多夫空間必然同時(shí)也是吉洪諾夫空間及正規(guī)正則空間。

X 稱為完全正規(guī)空間，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規(guī)空間必然也是正規(guī)空間。

X 稱為完全正規(guī)豪斯多夫空間、“ T 5 空間 ”或“完全T 4 空間”，若 X 同時(shí)為完全正規(guī)及T 1 空間。完全正規(guī)豪斯多夫空間必然也是正規(guī)豪斯多夫空間。

X 稱為完美正規(guī)空間，若在 X 內(nèi)，任意兩個(gè)相區(qū)別的閉子集都是函數(shù)上完全分離的。完美正規(guī)空間必然也是完全正規(guī)空間。

X 稱為完美正規(guī)豪斯多夫空間、“T 6 空間”或“完美T 4 空間”，若 X 同時(shí)為完美正規(guī)及T 1 空間。完美正規(guī)豪斯多夫空間必然也是完全正規(guī)豪斯多夫空間。

各空間之間的關(guān)系

T 0 空間很特別，因?yàn)樗恢豢梢援?dāng)做一個(gè)性質(zhì)加在其他空間上（如完全正則空間加上T 0 即為吉洪諾夫空間），也可以由某個(gè)空間中刪去此一性質(zhì)（如豪斯多夫空間刪去T 0 即為R 1 空間）；更多資訊請(qǐng)見柯爾莫果洛夫商空間。當(dāng)其應(yīng)用在分離公理時(shí)，便會(huì)導(dǎo)致如下表所列的關(guān)系：

在表中，利用柯爾莫果洛夫商空間運(yùn)算，右邊的空間加上T 0 即為左邊的空間，左邊的空間刪去T 0 即為右邊的空間。

除了T 0 的加上及刪去之外，各空間之間的關(guān)系則可由下圖指明出來：

在圖中，無T 0 版本的空間在斜線的左邊，T 0 版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思： P為完美（perfectly）、C為完全（completely）、N為正規(guī)（normal）、R為正則（regular）。 黑點(diǎn)代表該空間沒有給定名稱。

結(jié)合兩個(gè)空間的性質(zhì)最后會(huì)產(chǎn)生的空間可由上圖得知，只要看兩點(diǎn)向上的分支會(huì)交會(huì)在哪一點(diǎn)即可。例如，若有一個(gè)空間同時(shí)為完全正規(guī)（CN）及完全豪斯多夫（CT 2 ）空間，則查看兩點(diǎn)向上的分支，會(huì)發(fā)覺為“?/T 5 ”。因?yàn)橥耆浪苟喾蚩臻g為斜邊的T 0 端（即使完全正規(guī)空間不是），最后得到的空間便會(huì)在斜邊的T 0 端。亦即，完全正規(guī)完全豪斯多夫空間即為T 5 空間。

再看一次上圖，正規(guī)空間及R 0 空間結(jié)合在一起，由于會(huì)經(jīng)過許多右側(cè)的分支，也意指會(huì)產(chǎn)生許多兩個(gè)空間所沒有的其他性質(zhì)。因?yàn)檎齽t性是之中最為人知的性質(zhì)，結(jié)合正規(guī)空間及R 0 空間而成的空間一般稱為“正規(guī)正則空間”?；陬愃频南敕?，正規(guī)T 1 空間通常稱為“正規(guī)豪斯多夫空間”。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。

參考文獻(xiàn)

Michael C. Gemignani; Elementary Topology ; ISBN 0486665224

Schechter, Eric; 1997; Handbook of Analysis and its Foundations ; Publisher: Academic Press;http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/

Stephen Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).

There are several other good books on general topology, but beware that some use slightly different definitions.

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