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陳述

假定 P 是一個雙變量謂詞，對于任何集合 x 有一個唯一的集合 y 使 P ( x , y ) 成立。接著我們可以形成一個單變量的泛函謂詞 F ，使得 F ( x ) = y 當且僅當 P ( x , y )。

替代公理聲稱，給定一個集合 A ，我們可以找到一個集合 B ，它的成員完全是 F 在 A 的成員上的值。注意對于每個這樣的謂詞 P 都有一個相對應的公理；所以，這是一個公理模式。

在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中，這個公理模式讀做：

換句話說，

如果允許在公理模式中使用導出的泛函謂詞，則這個公理模式可以寫為：

對于每個導出的單變量的泛函謂詞 F ； 換句話說：

通過外延公理可知這個集合 B 是唯一的。我們稱這個集合 B 為 A 在 F 下的像，并指示它為 F ( A ) 或（使用集合建構(gòu)式符號形式）{ F ( x ): x ∈ A }。

有時引用這個公理不帶唯一性要求：

就是說，謂詞 P 不被限制為泛函的：要應用它于一個集合 A ，只需存在至少一個元素 y 對應于 A 的每個元素 x 就可以了； y 對每個 x 是唯一的不是必需的。在這種情況下，被斷言存在的像集合 B 將為 A 的每個 x 包含至少一個這樣的 y ，不保證只包含唯一的一個。

有時陳述這個公理不對謂詞加任何限制：

就是說，根本不要求 P 把集合 A 的一個元素映射到任何對象。但是如果對于 A 的一個元素 x 有至少一個 y 對應于它，則像集合 B 將包含至少一個這樣的 y 。

這個不對謂詞作限制的公理，也叫做 有界公理 或 搜集公理 ，看似比原先的替代公理更強，但是這兩個版本都可以從替代公理推導出來。另一方面，任何泛函謂詞都是謂詞，所以有界公理也蘊涵替代公理，因此兩個公理是等價的（在給定了其他 Zermelo-Fraenkel 公理的情況下）。

應用例子

序數(shù)ω·2 = ω + ω（使用馮·諾伊曼的現(xiàn)代定義）是第一個不使用替代公理就不能構(gòu)造的序數(shù)。無窮公理斷言無限序列 ω = {0, 1 ,2 ,...} 的存在，也只斷言了這個序列。我們希望定義 ω·2 為序列 {ω, ω + 1, ω + 2,...}，但是一般的序數(shù)的類不一定是集合（例如，所有序數(shù)的類不是集合）。替代公理允許你把在 ω 中每個有限數(shù) n 替代為對應的 ω + n ，并保證替代所得的類是集合。注意你可以輕易地構(gòu)造序同構(gòu)于 ω·2 的良序集合而不需用到替代公理：取 ω 的兩個復件的不交并，然后設(shè)第二個復件大于第一個便可。但這樣所得的集合并不是一個序數(shù)，因為它在屬于關(guān)系下不是一個全序。

顯然，若要確?？梢灾概梢粋€序數(shù)給任意的良序集合，也要用到替代公理。類似的，若要確?？梢灾概梢粋€基數(shù)給任意集合（馮·諾伊曼基數(shù)指派），我們也需要替代公理，以及選擇公理。

所有的可數(shù)的極限序數(shù)的構(gòu)造也要求替代公理，就像 ω·2 的構(gòu)造那樣。較大的序數(shù)則不那么直接地依賴于替代公理。例如 ω 1 是第一個不可數(shù)序數(shù)，可以構(gòu)造如下：由全體可數(shù)良序組成的集合，會是 ?( N × N ) 的一個子集，這點通過分離公理和冪集公理可知（在 A 上的關(guān)系是 A × A 的一個子集，因此是冪集?( A × A ) 的一個元素。關(guān)系的集合因此是 ?( A × A ) 的子集）。把每個良序集合替代為它的序數(shù)。這是可數(shù)序數(shù) ω 1 的集合，它自身可以被證明是不可數(shù)的。這個構(gòu)造使用了替代公理兩次；第一次確保對每個良序集合的一個序數(shù)指派，第二次把良序集合替代為其對應的序數(shù)。這是 Hartogs 數(shù) （ 英語 ： Hartogs number ） 的結(jié)果的特殊情況，而一般情況可以類似的證明。

不帶替代公理的選擇公理（ZC 集合論）不足以強到證明博雷爾集是 確定 （ 英語 ： Axiom of determinacy ） 的；為此你需要替代公理。

歷史和哲學

多數(shù)可以應用替代公理的應用實際上不需要它。例如，假設(shè) f 是從集合 S 到集合 T 的函數(shù)。接著我們可以構(gòu)造一個泛函謂詞 F 使得在 x 是 S 的成員的時候有 F ( x ) = f ( x )，在其他時候隨意設(shè) F ( x ) 為某個對象（這里的指派方式不要緊）。然后，給定 S 的一個子集 A ，應用替代公理模式于 F ，構(gòu)造子集 A 在函數(shù) f 下的像 f ( A ) 為 { F ( x ) : x ∈ ∈ --> A } {\displaystyle \{F(x):x\in A\}} （或表示為 F ( A )）。但是這里實際上不需要替代公理，因為 f ( A ) 是 T 的子集，所以我們可以使用分類公理模式來構(gòu)造這個像為集合 { y ∈ ∈ --> T : ? ? --> x ∈ ∈ --> A , y = f ( x ) } {\displaystyle \{y\in T:\exists x\in A,y=f(x)\}} 。一般的說，當 F 在 A 的成員上的值都屬于某個預先構(gòu)造的集合 T 時，使用分類公理就足夠了；只在不能獲得這樣的 T 的時候，才需要替代公理，運算定義在真類的子集上的運算。

按某些哲學家的說法，在上述例子中最好應用分類公理于集合 T ，因為分類公理在邏輯上弱于替代公理。實際上，在普通數(shù)學中不需要替代公理，只是需要它作為特定公理化集合論的特征。例如，你需要替代公理來從 ω·2 向上構(gòu)造馮·諾伊曼序數(shù)，而馮·諾伊曼序數(shù)對特定集合論的結(jié)果是必需的。在良序集合的理論就足夠應用的情況下，你不需要用替代公理構(gòu)造這些序數(shù)。對于某些鉆研數(shù)學基礎(chǔ)的數(shù)學家，特別是那些專注于類型論而非集合論的人，他們或認為這個公理在各種意義上都是不需要的，因此在其工作中不包括這個公理（以及其相對應的類型論版本）。通常在基于拓撲斯理論建造的基礎(chǔ)理論上，都難以表達出替代公理，所以一般不包括它。然而，替代公理的爭論不在于有人認為它的推論必然是假的（如選擇公理的爭論）；只是有部分人認為它是沒有必要的。

替代公理模式不是恩斯特·策梅洛在 1908年所公理化的集合論（ Z ）的一部分；它由 亞伯拉罕·弗蘭克爾 （ 英語 ： Abraham Fraenkel ） 在 1922 年引入，從而得到了現(xiàn)代的 Zermelo-Fraenkel 集合論 ( ZF )。 陶拉爾夫·斯科倫 （ 英語 ： Thoralf Skolem ） 在同一年晚些時候獨立的發(fā)現(xiàn)了這個公理，實際上我們今天使用的公理列表是Skolem的最終版本 -- 通常不提及他的貢獻是因為每個單獨的公理都是 Zermelo 或 Fraenkel 早先發(fā)現(xiàn)的。從證明論的觀點看，增加替代公理形成了很大的差異；把這個公理模式加進Zermelo 公理使系統(tǒng)在邏輯上更強，允許你證明更多的陳述。特別是，在 ZF 中你可以通過構(gòu)造馮·諾伊曼全集V ω2 為模型，證明 Z 的相容性。（當然，哥德爾第二不完備定理表明這兩個理論都不能證明自身的相容性，如果它自身是相容的。）

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