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性質

一個公理系統(tǒng)稱為自洽（或稱相容、一致），如果它沒有矛盾，也就是說沒有從公理同時導出一個命題及其否定的能力。

在一個公理系統(tǒng)中，一個公理被稱為獨立的，若它不是一個從系統(tǒng)的其它公理可以導出的定理。一個系統(tǒng)稱為獨立的，若它的每個公理都是獨立的。

雖然獨立性不是一個系統(tǒng)的必要需求，自洽性卻是必要的。

若一個公理系統(tǒng)中，每個命題及其否定命題中至少有一方可被證明，則稱該公理系統(tǒng)為完備 。

模型

公理系統(tǒng)的數(shù)學模型是一個定義良好的集合，它給系統(tǒng)現(xiàn)的未定義術語賦予意義，并且是用一種和系統(tǒng)中所定義的關系一致的方式。具體模型的存在性能證明系統(tǒng)的自洽性。

模型也可以用來顯示一個公理在系統(tǒng)中的獨立性。通過構造除去一個特定公理的子系統(tǒng)的有效模型，我們表明該省去的公理是獨立的，若它的正確性不可以從子系統(tǒng)得出。

兩個模型被稱為同構，如果它們的元素可以建立一一對應，并且以一種保持它們之間的關系的方式。一個其每個模型都同構于另一個的公理系統(tǒng)稱為范疇式的，而可范疇化的性質保證了系統(tǒng)的完備性。

第一個被提出的公理系統(tǒng)是歐氏幾何。

公理化方法

公理化方法經(jīng)常被作為一個單一的方法或著一致的過程來討論。以歐幾里得為榜樣，它確實在很多世紀中被這樣對待：直到19世紀初葉，在歐洲數(shù)學和哲學中古希臘數(shù)學的遺產代表了智力成就（在幾何學家的風格中，更幾何的發(fā)展）的最高標準這件事被視為理所當然（例如在斯賓諾莎的著作中所述）。

這個傳統(tǒng)的方法中，公理被假設為不言自明的，所以無可爭辯，這在19世紀逐漸被掃除，這是隨著非歐幾何的發(fā)展，實分析的基礎，康托的集合論和弗雷格在數(shù)學基礎方面的工作，以及希爾伯特的公理方法作為研究工具的“新”用途而發(fā)生的。例如，群論在該世紀末第一個放到了公理化的基礎上。一旦公理被明確地提出（例如，逆元必須存在），該課題就可以自主的進展，無須參考這類研究的起源—變換群。

所以，現(xiàn)在在數(shù)學以及它所影響的領域中，至少有3種“模式”的公理化方法。調皮地說，可能的態(tài)度有：

接受我的公理，然后你就必須承認它們的推論。

我拒絕你的公理之一，并且采納另外的模型。

我的公理集定義了一個研究領域。

第一種情況是經(jīng)典的演繹方法。第二種采用了博學點，一般化這個口號；它和概念可以和應該用某種內在的自然的廣泛性來表達的假設是一致的。第三種在20世紀數(shù)學中有顯著的位置，特別是在基于同調代數(shù)的課題中。

很顯然公理化方法在數(shù)學之外是有局限性的。例如，在政治哲學中，導致不可接受的結論的公理很可能被徹底拒絕；所以沒有人真的認同上面的第一個版本。

參看

希爾伯特演繹系統(tǒng)

模型論

哥德爾不完備定理

引用

Eric W. Weisstein, Axiomatic System, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.[1]&[2]

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