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陳述

首先定義幾個(gè)概念：

集族 ：指由非空集合組成的集合。

選擇函數(shù) ：它是一個(gè)集族上的函數(shù)。它規(guī)定：對(duì)于所有在集族 X 中的集合 s ， f ( s )是 s 的一個(gè)元素。

那么，選擇公理表示：

上述可表示為：

或者：

該定理也可表達(dá)為：

變體

第二個(gè)版本的選擇公理聲稱：

第三個(gè)版本聲稱：

使用這個(gè)版本的作者通常談及“在 A 上的選擇函數(shù)”，但要注意這里選擇函數(shù)的概念是稍微不同的。它的定義域是 A 的冪集（減去空集），因此對(duì)任何集合 A 有意義；至于本文中其他地方用的定義，在“集合的搜集”上的選擇函數(shù)的定義域是這個(gè)搜集，所以只對(duì)集合的集合有意義。透過這個(gè)變體的定義，選擇公理也可以簡(jiǎn)潔的陳述為

它等價(jià)于

而選擇公理的否定表達(dá)為：

術(shù)語（AC，ZF，ZFC）

以下列出了這篇條目中各種與“選擇公理”相關(guān)的縮寫：

AC： 選擇公理。

ZF：策梅洛-弗蘭克爾集合論，不包括選擇公理。

ZFC：策梅洛-弗蘭克爾集合論，包括選擇公理。

使用

直到19世紀(jì)晚期，選擇公理的使用一直都沒有得到明確聲明。例如，建立了只包含非空集合的集合 X 之后，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家可能會(huì)直接說"設(shè)對(duì)于 X 中所有 s 有 F(s) 是 s 的成員之一"。一般來說，要是不用選擇公理，是不可能證明 F 的存在性的。這一點(diǎn)直到策梅洛之前似乎沒有引起人們的注意。

不是所有的情況都需要選擇公理。選擇公理對(duì)于那些沒有可定義的選擇才有必要。值得指出的是，對(duì)于有限集合 X ，選擇公理的有限版本可以通過其他集合論公理推導(dǎo)得出。在這種情況下，它等價(jià)于說我們有多個(gè)（有限數(shù)目的）盒子，每個(gè)包含至少一個(gè)物體，則我們可以從每個(gè)盒子恰好選擇一個(gè)物體。顯然我們可以這么做：從第一個(gè)盒子開始，選擇其中的一個(gè)物體；到下一個(gè)盒子，選擇一個(gè)物體；如此類推。因?yàn)楹凶訑?shù)量有限，所以我們的選擇過程最后一定會(huì)結(jié)叢。這里給出的選擇函數(shù)是明確的：第一個(gè)盒子對(duì)應(yīng)于第一個(gè)選擇的物體，第二個(gè)盒子對(duì)應(yīng)于第二個(gè)選擇物體；如此類推——此法之所以可行，是因?yàn)樾驅(qū)淼脑??？梢酝ㄟ^數(shù)學(xué)歸納法做出對(duì)所有有限集合的形式證明。

例子

對(duì)于特定的無限集合 X ，也可以避免使用選擇公理。例如，假設(shè) X 的元素是自然數(shù)的集合。每個(gè)自然數(shù)的非空集合都有一個(gè)最小元，所以要指定我們的選擇函數(shù)，我們可以簡(jiǎn)單的把每個(gè)集合映射到這個(gè)集合的最小元。這使得我們可以從每個(gè)集合明確地選擇元素，以及寫出一個(gè)明確的表達(dá)式，說明我們的選擇函數(shù)如何取值。在能夠指定一個(gè)明確選擇方式的時(shí)候，選擇公理都是沒有必要的。

當(dāng)缺乏從每個(gè)集合得到元素的直觀選擇方式時(shí)，困難就出現(xiàn)了。如果我們不能做明確的選擇，我們?nèi)绾沃牢覀兊倪@個(gè)集合存在？例如，假設(shè) X 是實(shí)數(shù)的所有非空子集的集合。首先我們也許想套用有限的情況去處理 X 。如果我們嘗試從每個(gè)集合選擇一個(gè)元素，那么，因?yàn)閷?shí)數(shù)集合是無限不可數(shù)，我們的選擇過程永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)叢。亦因如此，我們永遠(yuǎn)不能生成對(duì) X 的成員的選擇函數(shù)。所以這種方法不能奏效。其次我們可以嘗試給每個(gè)集合指定最小元素這種方式。但是某些實(shí)數(shù)的子集沒有最小元素。例如，開區(qū)間(0,1) 沒有最小元素：如果 x 在 (0,1) 中，則 x /2也在其中，而 x /2總是嚴(yán)格的小于 x 。所以這種方法也不行。

我們之所以能夠從自然數(shù)的非空子集選擇最小元素，是因?yàn)樽匀粩?shù)上有一個(gè)自然良序：所有自然數(shù)的非空子集都有一個(gè)唯一的最小元素。

因此，我們可以采取這樣的思路，“即使實(shí)數(shù)的正常排序并非良序，也有可能找到一個(gè)排序使得實(shí)數(shù)是良序的。在這個(gè)排序下，總能夠選擇實(shí)數(shù)非空子集的最小元素。這樣便得到了選擇函數(shù)”。問題就變成如何構(gòu)造這樣的排序。而事實(shí)上，“存在一個(gè)排序使得所有集合可以是良序的”這一命題成立，當(dāng)且僅當(dāng)選擇公理為真。

有必要用到選擇公理的證明總是非構(gòu)造性的：即使證明給出了一個(gè)對(duì)象，精確地說出那個(gè)對(duì)象卻是不可能的。如果我們不能寫出選擇函數(shù)的定義，則我們的選擇就不是非常明確的。這是一些數(shù)學(xué)家不喜歡選擇公理的理由之一。例如，構(gòu)造主義者論斷說所有涉及存在性的證明都應(yīng)當(dāng)是完全明確的；構(gòu)造任何存在的對(duì)象應(yīng)當(dāng)是可能的。他們拒絕選擇公理，因?yàn)樗鼣嘌粤瞬荒芫唧w描述是什么的對(duì)象的存在。

構(gòu)造性數(shù)學(xué)

像上面討論的那樣，在ZFC中，選擇公理能為一個(gè)不能明確構(gòu)造出的對(duì)象給出“非構(gòu)造性證明”來證明其存在性。然而，ZFC依然是在經(jīng)典邏輯下被形式化的。在構(gòu)造性數(shù)學(xué)領(lǐng)域，選擇公理仍被深入研究，而當(dāng)中應(yīng)用的是非古典邏輯。在構(gòu)造性數(shù)學(xué)的不同版本中，選擇公理的狀況也有所差別。

在直覺類型論和高階的Heyting算術(shù)中，選擇公理的適當(dāng)陳述（按照推導(dǎo)方式）可以是作為一個(gè)公理，又或者作為一個(gè)可證明的定理 。 埃里特?畢夏普 （ 英語 ： Errett Bishop ） 認(rèn)為選擇公理可被視作是構(gòu)造性的 ：

但在 構(gòu)造性集合論 （ 英語 ： Constructive set theory ） 中，迪亞科內(nèi)斯庫定理表明選擇公理蘊(yùn)涵了排中律（在直覺類型論中，選擇公理不蘊(yùn)涵排中律）。因此選擇公理在構(gòu)造性集合論中并非普遍被接受。在類型論中的選擇公理與在構(gòu)造性集合論中的選擇公理的區(qū)別是，前者不具有外延性而后者具有 。

一些構(gòu)造性集合論的結(jié)果用到了可數(shù)選擇公理或相依選擇公理，這兩個(gè)公理在構(gòu)造性集合論內(nèi)并不蘊(yùn)涵排中律。盡管可數(shù)選擇公理在構(gòu)造性數(shù)學(xué)中的應(yīng)用特別廣泛，它的使用也受到質(zhì)疑 。

強(qiáng)形式公理

可構(gòu)造性公理與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)都蘊(yùn)涵了選擇公理，更準(zhǔn)確地說，兩者都嚴(yán)格強(qiáng)于選擇公理 。在類理論中，如馮諾伊曼-博內(nèi)斯-哥德爾集合論和Morse–Kelley集合論，存在一個(gè)叫全局選擇公理的公理，它比選擇公理要強(qiáng)，因其同時(shí)也適用于真類。全局選擇公理可由大小限制公理推出。

結(jié)論

哥德爾證明了選擇公理與ZF的相對(duì)協(xié)調(diào)性。保羅·寇恩用力迫法證明了選擇公理獨(dú)立于ZF。

參考文獻(xiàn)

來源

Ernst Zermelo, "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65 : (1908) pp. 261-81.PDF download via digizeitschriften.de

Gregory H Moore, "Zermelo"s axiom of choice, Its origins, development and influence", Springer; 1982. ISBN 978-0-387-90670-6

Paul Howard and Jean Rubin, "Consequences of the Axiom of Choice". Mathematical Surveys and Monographs 59; American Mathematical Society; 1998.

參見

集合論

佐恩引理

良序定理

吉洪諾夫定理

策梅洛-弗蘭克爾集合論

馮諾伊曼-博內(nèi)斯-哥德爾集合論

全局選擇公理

可數(shù)選擇公理

連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

排中律

直覺類型論

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