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歷史發(fā)展

古希臘

經(jīng)由可靠的論證（三段論、推理規(guī)則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發(fā)展出來的，并已成為了現(xiàn)代數(shù)學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數(shù)學，則為定理）則都必須借助這些基本假設才能被證明。然而，對數(shù)學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終“公理”這一詞對今日的數(shù)學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

古希臘人認為幾何學也是數(shù)種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發(fā)展并使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，并以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的后分析篇是對此傳統(tǒng)觀點的一決定性的闡述。

“公理”，以傳統(tǒng)的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。

在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經(jīng)證明而被接受的附加假定，此類假定稱為“公設”。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現(xiàn)實世界的經(jīng)驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設的真實性，這門科學之內容便無法成功傳遞。

傳統(tǒng)的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來，其中給定一些公設（從人們的經(jīng)驗中總結出的幾何常識事實），以及一些“公理”（極基本、不證自明的斷言）。

近代的發(fā)展

近150年來，數(shù)學家所學到的是，將意思從數(shù)學陳述（ 公理 、公設、命題、定理）和定義中抽離出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可說是公式化）使得數(shù)學知識變得更一般化，容許多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。

結構主義的數(shù)學走得更遠，并發(fā)展出沒有“任一”特定應用的理論和公理（如體論、群論、拓撲學、向量空間）?！肮怼焙汀肮O”之間的差異消失了。歐幾里得公設因為可以導出大量的幾何事實而被創(chuàng)造出來。這些復雜事實的真實性依賴于對基本假定的承認。然而，若舍棄第五公設，則可以得到有更多內容的理論，如雙曲幾何。我們只需要準備以更彈性的方式來使用“線”和“平行”等術語。雙曲幾何的發(fā)展教導了數(shù)學家們公設應該被視為單純的形式陳述，而不是基于經(jīng)驗的事實。

當數(shù)學家使用體的公理時，其含義甚至變得更加地抽象了。體論的命題沒有關注于任一特定的應用上；數(shù)學家現(xiàn)在于完全的抽象化上工作著。體有許多的例子；而體論可以給出對所有這些例子適用的正確知識。

說體論的公理是“被視為不證自明的命題”是不正確的。實際上，體的公理是一套局限。若任一給定的加法與乘法系統(tǒng)符合此些局限，則我們對此系統(tǒng)立即可以得到許多額外的資訊。

現(xiàn)代數(shù)學家也對數(shù)學基礎作了相當程度的形式化，從而使得數(shù)學理論可以被視為數(shù)學物件，且邏輯本身亦能被視為是數(shù)學的一個分支。戈特洛布·弗雷格、伯特蘭·羅素、龐加萊、大衛(wèi)·希爾伯特和庫爾特·哥德爾是此發(fā)展中的幾位關鍵角色。

在現(xiàn)今的理解里，一套公理是任何一群形式陳述的斷言，而透過應用某些定義良好的規(guī)則，可由這些公理推導出其他形式陳述的斷言。在此觀點下，邏輯只是變成了另一個形式系統(tǒng)。一套公理應該是相容的，即應該不可能由此公理中導出矛盾來。一套公理亦應該是非冗余的，即一個可以由其他公理導出的斷言不應被視為是一個公理。

近代的邏輯學家最初希望數(shù)學的不同分支，最好是所有的數(shù)學，都可以被一套相容的基本公理中推導出來。數(shù)學的一個早期成功的例子為希爾伯特對歐幾里得幾何的公式化，以及相關地，對此些公理相容性的確定。

在更廣的方面來看，還有人企圖將所有數(shù)學放在康托爾的集合論之下。不過，羅素悖論的出現(xiàn)和樸素集合論中相似的矛盾，指出任何此類的形式系統(tǒng)最終都有可能是不相容的。

此計劃遭受到的決定性挫敗是在1931年，哥德爾證明出只要一個相容的形式系統(tǒng)能夠蘊涵皮亞諾公理，就可以在系統(tǒng)內建構出一個其真實性和此套公理獨立的陳述。作為一個推論，哥德爾證明出一個如皮亞諾算術的理論，其相容性在理論本身之內會是一個不可證的斷言。

相信皮亞諾算術的相容性是合理的，因為它被自然數(shù)的系統(tǒng)所滿足－一個無限但在直覺上易被接受的形式系統(tǒng)。然而，直到現(xiàn)在，依然沒有已知的方法判定集合論中策梅羅-弗蘭克爾公理的相容性。選擇公理－此理論的關鍵假定，也依然是一個極具爭議的假設。更甚之，利用力迫法的技巧，可以證明連續(xù)統(tǒng)假設獨立于策梅羅-弗蘭克爾公理之外。因此，即使是這種極一般的公理也還不能被視為是數(shù)學的決定性基礎。

數(shù)理邏輯

在數(shù)理邏輯里，公理可以清楚地被區(qū)別成兩種： 邏輯公理 和 非邏輯公理 （有些類似傳統(tǒng)上對“公理”和“公設”的區(qū)別）。

邏輯公理

在一個語言中存在著某些普遍有效的公式，亦即被每個變數(shù)賦值函數(shù)的每個結構所滿足的公式?？谡Z上來說，是存在著在任一可能的論域、可能的解釋和賦值上都是“正確”的陳述。通常將邏輯公理視為能充分證明所有此語言中重言式的一套“最小”的重言式；在謂詞邏輯中有更多的邏輯公理是需要的，為了證明那些在嚴格意義上不是重言式的邏輯事實。

例子

命題邏輯

在命題邏輯里，一般將邏輯公理視為所有如下形式的公式，其中的 ? ? --> {\displaystyle \phi } 、 ψ ψ --> {\displaystyle \psi } 和 χ χ --> {\displaystyle \chi } 可以是語言中的邏輯運算符且包邏輯非輯運算符只有邏輯非 ? ? --> {\displaystyle \neg } 和蘊涵 → → --> {\displaystyle \to } 兩種：

? ? --> → → --> ( ψ ψ --> → → --> ? ? --> ) {\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}

( ? ? --> → → --> ( ψ ψ --> → → --> χ χ --> ) ) → → --> ( ( ? ? --> → → --> ψ ψ --> ) → → --> ( ? ? --> → → --> χ χ --> ) ) {\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}

( ? ? --> ? ? --> → → --> ? ? --> ψ ψ --> ) → → --> ( ψ ψ --> → → --> ? ? --> ) {\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi )} 。

上面的每個形式都是一個“公理模式”，是用來產(chǎn)生無限多公理的規(guī)則。例如，若 A 、 B 和 C 是命題變數(shù)，則 A → → --> ( B → → --> A ) {\displaystyle A\to (B\to A)} 和 ( A → → --> ? ? --> B ) → → --> ( C → → --> ( A → → --> ? ? --> B ) ) {\displaystyle (A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))} 都會是公理模式1.的例子，肯定前件是公理。可以證明只要有這三個公理模式和“肯定前件”，即可證明出所有命題演算中的重言式。也可證明只以其中的一對模式是無法和“肯定前件”一起充分證明出所有的重言式的。

其他包含著相同或不同邏輯運算符的公理模式也可以另行建構出來。

這些公理模式也被使用于謂詞邏輯里，但需要附加上其他邏輯公理，藉以討論包含了量詞的命題。

一階邏輯

等于公理 令 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}\,} 為一階語言。對每個變數(shù) x {\displaystyle x\,} 而言，公式x = x {\displaystyle x=x} ，是普遍有效的。

這表示，對于任一變數(shù) x {\displaystyle x\,} ，公式 x = x {\displaystyle x=x\,} 可被視為是一個公理。而且，在這例子里，為了不落入含糊不清及一連串永不終止的“原始概念”之中，要不就是將 x = x {\displaystyle x=x\,} 的精確概念給先建立完全，要不就是得規(guī)范符號 = {\displaystyle =\,} 純形式及語法的用法，只視之為一個字串，且只是由符號組成的字串。數(shù)理邏輯確實就是這么做的。

全稱例化公理模式 給定一在一階語言 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}\,} 中的公式 ? ? --> {\displaystyle \phi \,} 、一變數(shù) x {\displaystyle x\,} 和一項 t {\displaystyle t\,} ，公式? ? --> x ? ? --> → → --> ? ? --> t x {\displaystyle \forall x\phi \to \phi _{t}^{x}} 是普遍有效的。

其中 ? ? --> t x {\displaystyle \phi _{t}^{x}} 代表以項 t {\displaystyle t\,} 來代換 ? ? --> {\displaystyle \phi \,} 中的 x {\displaystyle x\,} 后所得到的公式。較不嚴謹?shù)?，這個例子允許我們如此陳述，若知道一特定性質 P {\displaystyle P\,} 對每個 x {\displaystyle x\,} 皆成立，且 t {\displaystyle t\,} 代表著此結構內的一特定物件，則應可主張 P ( t ) {\displaystyle P(t)\,} 是對的。

存在推廣公理模式 給定一在一階語言 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}\,} 中的公式 ? ? --> {\displaystyle \phi \,} 、一變數(shù) x {\displaystyle x\,} 和一項 t {\displaystyle t\,} ，公式? ? --> t x → → --> ? ? --> x ? ? --> {\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x\phi } 是普遍有效的。

非邏輯公理

非邏輯公理 是在特定理論中充當基本假設的一種公式。兩個不同的結構如自然數(shù)和整數(shù)的推理可能涉及相同的邏輯公理；非邏輯公理則試圖汲取對特定結構（或一套結構，如群）來講是特殊的地方。因此，非邏輯公理，不像邏輯公理，并不是“重言式”。非邏輯公理的別稱為“公設”。

幾乎每個現(xiàn)今的數(shù)學定律都是起始于一套給定的非邏輯公理，且曾被認為在原則上，每個理論都可以如此公理化，并且公式化成純粹邏輯公式的語言。但這已被證明是不可能的了；然而，最近此一做法又以新邏輯主義的形式復活了起來。

非邏輯公理通常在數(shù)學論述中被簡稱為“公理”。這并不表示它們在某種絕對的意思上是正確的。例如，在一些群里，群運算是可交換的，且這可以在加入加法公理下斷言，但去掉此公理就可以很好地發(fā)展（更一般化的）群論，且甚至可以拿此公理的否定來做非可換群的研究。

因此， 公理 和定義了 演繹系統(tǒng) 的推理規(guī)則一起構成了形式邏輯系統(tǒng)的基礎。

例子

此節(jié)會給出一些完全由一套非邏輯公理（或簡稱公理）發(fā)展出來的數(shù)學定律。任何對此些題目的嚴謹處理都起始于對公理的詳述。

基本理論如算術、實分析和復變分析通常都是由非公理化的方式開始介紹，但通常直接或間接地都會使用到具選擇公理的策梅羅-弗蘭克爾集合論（ZFC）的公理，或是一些極相似的公理化集合論，例如NBG。后者是ZFC集合論的保守擴展，在集合方面與ZFC具有相同的定理，因此兩者有緊密的聯(lián)系。有時，稍強的理論如MK，或帶有允許使用格羅滕迪克全集的強不可達基數(shù)的集合論也會被使用，但實際上，大多數(shù)數(shù)學家都可以在弱于ZFC的系統(tǒng)中確實地證明他們所需要的命題，比如在二階算術中就可能做到這點。

在數(shù)學中，拓撲學的研究擴展成點集拓撲、代數(shù)拓撲、微分拓撲，和所有相關領域，如同調論和同倫論?！俺橄蟠鷶?shù)”也發(fā)展出群論、環(huán)、體和伽羅瓦理論。

此列表可以擴展至包含大多數(shù)的數(shù)學領域，如公理化集合論、測度論、遍歷理論、概率論、表示理論和微分幾何等。

算術

皮亞諾公理是一階算術最廣被使用的“公理化”。這套公理的強度足以證明許多數(shù)論中重要事實，以及允許哥德爾建立他著名的哥德爾不完備定理。

設有一語言 L N T = { 0 , S } {\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}\,} ，其中， 0 {\displaystyle 0\,} 是一個常數(shù)符號且 S {\displaystyle S\,} 是一個一元函數(shù)且滿足如下公理：

? ? --> x . ? ? --> ( S x = 0 ) {\displaystyle \forall x.\lnot (Sx=0)}

? ? --> x . ? ? --> y . ( S x = S y → → --> x = y ) {\displaystyle \forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)}

( ( ? ? --> ( 0 ) ∧ ∧ --> ? ? --> x . ( ? ? --> ( x ) → → --> ? ? --> ( S x ) ) ) → → --> ? ? --> x . ? ? --> ( x ) {\displaystyle ((\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)} ，對任一 L N T {\displaystyle {自由athfrak {L}}_{NT}\,} 中有一自由變數(shù)的公式 ? ? --> {\displaystyle \phi \,} 而言。

其標準結構為 N = ? ? --> N , 0 , S ? ? --> {\displaystyle {\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle \,} ，其中 N {\displaystyle \mathbb {N} \,} 為自然數(shù)的集合、 S {\displaystyle S\,} 為后繼函數(shù)，且 0 {\displaystyle 0\,} 自然被解釋為數(shù)0。

歐幾里得幾何

平面幾何中的4+1個公設大概是最古老且最有名的一組公理。這些公理被稱為“4+1”，因為近兩千年來，第五公設（“通過一直線外一點恰好存在一平行線”）一直被懷疑可以從前4個公理中導出。但最后，第五公設還是被證實是獨立于前4個公理。確實，可以假設通過一直線外一點會沒有平行線、恰好有一平行線，或有著無限多條平行線存在。這些選擇給出了不同形式的幾何，其三角形的內角和會分別為小于、等于或大于180度。這幾種幾何分別被稱為橢圓幾何、歐幾里得幾何和雙曲幾何。

實分析

其研究的對象為實數(shù)。實數(shù)可唯一由一“戴德金完備有序體”（即帶有上界的非空實數(shù)集合必然有最小上界）所決定（在同構意義上）。然而，若要表達這些公理的性質，需要使用到二階邏輯。勒文海姆-斯科倫定理告訴我們若局限于一階邏輯里來描述，任何實數(shù)的公理系統(tǒng)都會允許有其他的模型，有些會小于實數(shù)，有些則會大于實數(shù)。后者有些被研究于非標準分析中。

在數(shù)理邏輯中的角色

演繹系統(tǒng)和一致性

一致性的要求是最重要的。如果一公理系統(tǒng)，不會同時推導到命題“p”和“非p”，那么它就稱為一致的系統(tǒng)。 不一致的系統(tǒng)，會同時推導出“p”和“非p”的矛盾結果，在數(shù)學推論上，是不能容許的。

演繹系統(tǒng)和完備性

演繹系統(tǒng) 包括有邏輯公理的集合 Λ Λ --> {\displaystyle \Lambda \,} 、非邏輯公理的集合 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma \,} 和“推理規(guī)則”的集合 { ( Γ Γ --> , ? ? --> ) } {\displaystyle \{(\Gamma ,\phi )\}\,} 。演繹系統(tǒng)的一個理想的性質為 完備性 。

一個系統(tǒng)被稱為是完備的，若對所有公式 ? ? --> {\displaystyle \phi } ，

亦即，對任一為 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma \,} “邏輯結果”的陳述，皆存在一個從 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma \,} 的陳述出發(fā)的“演繹”。這有時被表達為“所有真的陳述都是可證的”，但必須了解這里的“真”意指“公理集合致使其為真”，而不是“在某一特定解釋下為真”。哥德爾完備性定理表明了某個常用類別的演繹系統(tǒng)的完備性。

注意“完備性”在哥德爾不完備定理中會有著不同的意思，其表示在算術理論中沒有一套“遞歸”且“一致”的非邏輯公理 Σ Σ --> {\displaystyle \Sigma \,} 會是“完備”的，亦即總是存在一個算術陳述 ? ? --> {\displaystyle \phi \,} ，其 ? ? --> {\displaystyle \phi \,} 和 ? ? --> ? ? --> {\displaystyle \lnot \phi \,} 都不能由給定的公理中證出。

這里，一邊是指“演繹系統(tǒng)的完備性”，一邊則是指“一套非邏輯公理的完備性”。因此，完備性定理和不完備性定理，除了其名稱之外，并不相互沖突。

更多的探討

早期的數(shù)學家視公理化幾何為物理空間的模型，且明顯地只能有此一模型。另一種數(shù)學系統(tǒng)可能存在的想法，對19世紀的數(shù)學家而言是極度困擾的，并費盡苦心地想要將這些系統(tǒng)從傳統(tǒng)算術中推導出來。伽羅瓦證明這些努力大多都是白費的。最后，這些在代數(shù)系統(tǒng)中相互平行的抽象系統(tǒng)看起來似乎有其重要性，而現(xiàn)代代數(shù)也由此誕生了。以現(xiàn)在的觀點來看，任意的公式集合都可以作為公理，只要這些公式并未被發(fā)現(xiàn)為不一致的便可。

引用

Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. Belmont, California: Wadsworth & Brooks. ISBN 0-534-06624-0

參見

公設

歐幾里得幾何

公理系統(tǒng)

公理化集合論

皮亞諾公理

數(shù)學

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