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正式敘述

設(shè)A和B是歐幾里得空間的兩個子集。如果它們可以分為有限個不相交子集的并集，形如A=∪ ∪ -->i=1nAi{\displaystyle A=\cup _{i=1}^{n}A_{i}}和B=∪ ∪ -->i=1nBi{\displaystyle B=\cup _{i=1}^{n}B_{i}}，且對任意i，子集Ai{\displaystyle A_{i}}全等于Bi{\displaystyle B_{i}}，那么這兩個子集稱為等度分解的(equidecomposable)。于是，這個悖論可以如下敘述：

對球來說，五塊就足夠做到這點了，但少于五塊卻不行。這個悖論甚至有個更強的版本：

換句話說，一塊大理石可以分成有限塊然后重新組合成一個行星，或者一部電話機可以變形之后藏進水百合花里面。在現(xiàn)實生活中這種變形之所以不可行是因為原子的體積不是無限小，數(shù)量不是無限大，但其幾何形狀確實可以這樣變形的。如果知道總是可以存在從一個幾何體的內(nèi)部點一一映射到另一個的方法，也許這個悖論看上去就不那么怪異了。例如兩個球可以雙射到其自身同樣級別的無限子集（例如一個球）。同樣我們還可以使一個球映射到一個大點或者小點的球，只要根據(jù)半徑放大系數(shù)即可將一個點映射到另一個。然而，這些變換一般來說不能保積，或者需要將幾何體分割成不可數(shù)無限塊。巴拿赫 - 塔斯基悖論出人意料的地方是僅用有限塊進行旋轉(zhuǎn)和平移就能完成變換。

使這個悖論成為可能的是無限的卷繞。技術(shù)上，這是不可測的，因此它們不具有“合理的”范圍或者平常說的“體積”。用小刀等物理方法是無法完成這種分割的，因為它們只能分割出可測集合。這個純粹存在性的數(shù)學(xué)定理指出在多數(shù)人熟悉的可測集合之外，還有更多更多的不可測集合。

對于三維以上的情形這個悖論依然成立。但對于歐幾里得平面它不成立。（以上敘述不適用于三維空間的二維子集，因為這個子集可能具有空的內(nèi)部。）同時，也有一些悖論性的分解組合在平面上成立：一個圓盤可以分割成有限塊并重新拼成一個面積相同的實心正方形。參見塔斯基分割圓問題。

這個悖論表明如果等度分解的子集被認為具有相同體積的話，就無法對歐幾里得空間的有界子集定義什么叫做“體積”。

證明是基于費利克斯·豪斯多夫早些時候的工作。他10年前發(fā)現(xiàn)一個類似的悖論，事實上，巴拿赫 - 塔斯基悖論正是豪斯多夫所用技術(shù)的一個推廣應(yīng)用。

邏輯學(xué)家常常對邏輯上不一致的命題使用“悖論”一詞，例如說謊者悖論或者羅素悖論。巴拿赫 - 塔斯基悖論并非這種意義上的悖論，它是一個已證明的定理，只因為違反直覺才被稱為悖論。由于其證明明確地用到選擇公理，這種反常的結(jié)論被用作反對使用該公理的理據(jù)。

馮紐曼研究這個悖論時，創(chuàng)出了可均群的概念。他發(fā)現(xiàn)三維以上情形之所以產(chǎn)生悖論，和這些空間的旋轉(zhuǎn)群的非可均性有關(guān)。

證明概要

基本上，尋找這個分球的奇怪方法可以分為4個步驟：

找到把一個具有兩個生成元的自由群進行分割的特殊方法

找到一個3維空間中同構(gòu)于這兩個生成元的旋轉(zhuǎn)群

利用這個群的特殊分割方法和選擇公理對單位球面進行分解

把這個單位球面的分解推廣到實心球

每個步驟的詳情如下：

第一步，具有兩個生成元a和b的自由群由所有含有a、b、a和b這些符號的有限字符串組成，其中沒有a緊挨著a或者b緊挨著b這種現(xiàn)象。兩個這樣的字符串可以連接在一起，只要將緊挨著的a和a抵銷掉（對b一樣）。例如ababa連接到ababa得到ababaababa，并可化簡為abaaba。我們可以驗證這些字符串在這個操作下構(gòu)成一個群，其單位元是空串e{\displaystyle e}。我們稱這個群為F2{\displaystyle F_{2}}。

凱萊圖中F2的子集S(a)和aS(a)

群F2{\displaystyle F_{2}}可被進行如下特殊分割：令S(a)為所有以a開頭的字符串，同理定義S(a)、S(b)和S(b)。很明顯

并且

（aS(a)表示從S(a)取出所有字符串，并在左邊連接上一個a，之后所得的所有字符串）證明的關(guān)鍵就在這里了。簡而言之，現(xiàn)在我們已經(jīng)將F2{\displaystyle F_{2}}這個群分成了四塊（e{\displaystyle e}忽略也沒有問題），然后通過乘上一個a或者b來“旋轉(zhuǎn)”它們，其中兩個“重新組合”成F2{\displaystyle F_{2}}，另外兩個重新組合成另一個F2{\displaystyle F_{2}}。這樣的事情，放在球體上就是我們想要證明的東西了。

第二步，為了尋找三維空間旋轉(zhuǎn)群類似于F2{\displaystyle F_{2}}那樣的行為，我們?nèi)蓷l坐標軸并設(shè)A是繞第一條軸旋轉(zhuǎn)arccos(1/3)弧度而B是繞另一條軸旋轉(zhuǎn)arccos(1/3)弧度。（這一步驟可在二維上完成。）有些瑣碎但不太難的是證明這兩種旋轉(zhuǎn)的行為正如F2{\displaystyle F_{2}}中a和b兩個元素的行為一樣，這里就略去。由A和B所生成的這個旋轉(zhuǎn)群命名為H。當然，我們可以按照第一步所述方法對H進行分割。

第三步，單位球面S可被群H中的操作分成一些軌道：兩個點屬于同一個軌道當且僅當H中某個旋轉(zhuǎn)將第一個點移到第二個。我們可以利用選擇公理在每個軌道中選出來一個點。將這些點合起來組成集合M。現(xiàn)在S中(幾乎)所有點都可以通過H中合適的元素相應(yīng)的轉(zhuǎn)動移到M中。因此，H的分割也就可以應(yīng)用到S上面去。

第四步，最后，將每個S的點連到原點，對S的分割便可以應(yīng)用到實心單位球上去。（球心處會有些特殊，但這個簡要證明中忽略它。）

總結(jié)，這個簡要證明到此結(jié)束。H中有些旋轉(zhuǎn)會剛好對應(yīng)于剛好一些特殊的軸線，這時需要加以特殊處理。但一方面，這些情況的總數(shù)是可數(shù)的因此沒有影響，另一方面，即使相關(guān)的這些點也是可以加以修正以符合定理的。對球心點這個特殊點以上同樣適用。

延伸閱讀

"Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes",數(shù)學(xué)基礎(chǔ), 6, (1924), 244-277, 巴拿赫和塔斯基的原始論文（法文）。

萊曼的巴拿赫 - 塔斯基悖論指南(來自 Kuro5hin)

Francis E. Su,"巴拿赫 - 塔斯基悖論"

S. Wagon, 巴拿赫·塔斯基悖論, 劍橋大學(xué)出版社, 1986.

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