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例子

以下令 K 為體 R 或 C 之一。

常見的歐氏空間 K （其范數(shù)為歐幾里德范數(shù)， x = ( x 1 , …, x n )的范數(shù)定義為|| x || = ( x 1 +…+ x n ) ）是巴拿赫空間。因此，因為在每一個有限維 K 向量空間上的所有范數(shù)均等價，所以每一個具有任意范數(shù)的有限維 K 向量空間都是巴拿赫空間。

考慮一個由定義于閉區(qū)間[ a , b ] 上的所有連續(xù)函數(shù) ? : [ a , b ] → K 所組成的空間。這個空間會成為一個巴拿赫空間（標(biāo)記為C[ a , b ]），若存在一個定義在此空間中的洽當(dāng)范數(shù)|| ? ||。此類范數(shù)可以定義為|| ? || = sup { | ? ( x )| : x ∈ [ a , b ] }，稱之為最小上界范數(shù)。上述范數(shù)是良好定義的，因為定義于閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都是有界的。

若 f 為一個定義于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則此函數(shù)為有界的，并其定義如上的最小上界可由極值定理取得，因此可以用最大值來取代最小上界。在此例之中，其范數(shù)也稱為“最大值范數(shù)”。

上述空間也可推廣至由所有連續(xù)函數(shù) X → K （其中 X 為一緊致空間）或所有“有界”連續(xù)函數(shù) X → K （其中 X 為任意拓?fù)淇臻g）所組成的空間，標(biāo)記為C( X )；或由所有有界函數(shù) X → K （其中 X 為任意集合）所組成的空間，標(biāo)記為B( X )。在上述所有的例子之中，甚至可以將函數(shù)相乘，而乘積還會在原空間內(nèi)；亦即，上述所有例子實際上都會是有單位的巴拿赫代數(shù)。

對每一個開集Ω ? C ，由所有有界解析函數(shù) u : Ω → C 所組成的集合 A (Ω) 會是一個在最小上界范數(shù)下的復(fù)巴拿赫空間。這可以用解析函數(shù)的一致極限也會是解析的這個事實來證明。

設(shè) p ≥ 0 為一實數(shù)，考慮由 K 內(nèi)元素排成的所有其無窮級數(shù)∑ i | x i | 為有限的無限序列( x 1 , x 2 , x 3 , …)所組成的空間。這個級數(shù)的p次方根即定義為此序列的 p -范數(shù)。上述空間和范數(shù)即會形成一個巴拿赫空間，標(biāo)記為? 。

巴拿赫空間? 是由所有在 K 內(nèi)元素排成的所有有界序列所組成的空間；此類序列的范數(shù)定義為序列中每個數(shù)字的絕對值的最小上界。

再者，設(shè) p ≥ 1 為一實數(shù)，可考慮由所有其| ? | 為勒貝格可積的函數(shù) ? : [ a , b ] → K 所組成的空間。此函數(shù)積分的 p 次方根即定義為其范數(shù)。但上述空間和范數(shù)不能形成一個巴拿赫空間，因為存在一個范數(shù)為零的非零函數(shù)。但可定義一個等價關(guān)系： f 及 g 為等價當(dāng)且僅當(dāng) ? ? g 的范數(shù)為零。如此，其等價類即可形成一個巴拿赫空間，標(biāo)記為 L ([ a , b ])。在這里使用勒貝格積分，而不是黎曼積分是有原因的，因為黎曼積分無法形成一個完備空間。這個空間可以再被推廣，詳細(xì)可見L p 空間。

線性變換空間

假設(shè) V 和 W 是同一個數(shù)域 K 上的巴拿赫空間，所有線性變換 A : V → W 的集合記為 L( V , W )。注意：在無限維空間中，線性變換未必是連續(xù)的。L( V , W ) 本身是一個向量空間。

定義 || A || = sup { || Ax || : || x || ≤ 1 }，可以驗證這是 L( V , W ) 上的一個范數(shù)，使得 L( V , W ) 成為一個巴拿赫空間。如果還將映射的復(fù)合運算定義為線性變換的乘法，則 L( V ) = L( V , V ) 構(gòu)成一個有單位元的巴拿赫代數(shù)。

另見

巴拿赫代數(shù)

對偶空間

希爾伯特空間

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