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例子以下令K為體R或C之一。常見的歐氏空間K（其范數(shù)為歐幾里德范數(shù)，x=(x1,…,xn)的范數(shù)定義為||x||=(x1+…+xn)）是巴拿赫空間。因此，因?yàn)樵诿恳粋€(gè)有限維K向量空間上的所有范數(shù)均等價(jià)，所以每一個(gè)具有任意范數(shù)的有限維K向量空間都是巴拿赫空間?？紤]一個(gè)由定義于閉區(qū)間[a,b]上的所有連續(xù)函數(shù)?:[a,b]→K所組成的空間。這個(gè)空間會(huì)成為一個(gè)巴拿赫空間（標(biāo)記為C[a,b]），若存在一個(gè)定義在此空間中的洽當(dāng)范數(shù)||?||。此類范數(shù)可以定義為||?||=sup{|?(x)|:x∈[a,b]}，稱之為最小上界范數(shù)。上述范數(shù)是良好定義的，因?yàn)槎x于閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都是有界的。若f為一個(gè)定義于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則此函數(shù)為有界的，并其定義如上的最小上界可由極值定理取得，因此可以用最大值來取代最小上界。在此例之中，其范數(shù)也稱為“最大值范數(shù)”。上述空間也可推廣至由所有連續(xù)函數(shù)X→K（其中X為...

正式敘述設(shè)A和B是歐幾里得空間的兩個(gè)子集。如果它們可以分為有限個(gè)不相交子集的并集，形如A=∪∪-->i=1nAi{\displaystyleA=\cup_{i=1}^{n}A_{i}}和B=∪∪-->i=1nBi{\displaystyleB=\cup_{i=1}^{n}B_{i}}，且對(duì)任意i，子集Ai{\displaystyleA_{i}}全等于Bi{\displaystyleB_{i}}，那么這兩個(gè)子集稱為等度分解的(equidecomposable)。于是，這個(gè)悖論可以如下敘述：對(duì)球來說，五塊就足夠做到這點(diǎn)了，但少于五塊卻不行。這個(gè)悖論甚至有個(gè)更強(qiáng)的版本：換句話說，一塊大理石可以分成有限塊然后重新組合成一個(gè)行星，或者一部電話機(jī)可以變形之后藏進(jìn)水百合花里面。在現(xiàn)實(shí)生活中這種變形之所以不可行是因?yàn)樵拥捏w積不是無限小，數(shù)量不是無限大，但其幾何形狀確實(shí)可以這樣變形的。如果知道...

參見巴伐利亞州市鎮(zhèn)列表參考

定理設(shè)(X,d)為非空的完備度量空間。設(shè)T:X→X為X上的一個(gè)壓縮映射，也就是說，存在一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)qX內(nèi)的x和y，都有：那么映射T在X內(nèi)有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x（這就是說，Tx=x）。更進(jìn)一步，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)可以用以下的方法來求出：從X內(nèi)的任意一個(gè)元素x0開始，并定義一個(gè)迭代序列xn=Txn-1，對(duì)于n=1，2，3，……。這個(gè)序列收斂，且極限為x。以下的不等式描述了收斂的速率：等價(jià)地：且滿足以上不等式的最小的q有時(shí)稱為利普希茨常數(shù)。注意對(duì)于所有不同的x和y都有d(Tx,Ty)(X,d){\displaystylex_{0}\in(X,d)}。對(duì)于每一個(gè)n∈∈-->{1,2,……-->}{\displaystylen\in\{1,2,\ldots\}}，定義xn=Txn??-->1{\displaystylex_{n}=Tx_{n-1}\,\!}。我們聲稱對(duì)于所有的n∈∈-->{1,2,……-->...

人物生平1906年《帶帽的自畫像》早年生活特奧·凡·杜斯伯格原名克里斯蒂安·埃米爾·瑪麗·居伯，1883年8月30日生于烏特勒支，攝影師威廉·居伯與亨莉埃塔·卡特琳娜·馬哥丹特之子。短暫的表演和演唱訓(xùn)練經(jīng)歷之后，決心投入繪畫事業(yè)。他一直將繼父特奧多魯斯·杜斯伯格視作親生父親，因此，其首批作品即署名特奧·杜斯伯格，后來又自行插入了“凡”。他于1908年進(jìn)行了首次個(gè)展。1912以降，一直以為雜志供稿支撐繪畫工作。雖然當(dāng)時(shí)他自認(rèn)為是一名現(xiàn)代畫家，他的早期作品與阿姆斯特丹印象派并無二致，風(fēng)格和主題都很有文森特·凡·高的影子。但1913年這種情況急劇轉(zhuǎn)變。杜斯伯格讀到瓦西里·康定斯基回憶自己1903到1913年繪畫生涯的《回顧》一書，意識(shí)到繪畫中包含有超越日常生活，僅僅來源于人的認(rèn)識(shí)的更加高遠(yuǎn)和精神化的層面，而這只可能通過抽象來達(dá)成。而在1912年，凡·杜斯伯格就已經(jīng)在11月9日的《單一》期刊第12...