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定理

設(shè)(X, d)為非空的完備度量空間。設(shè)T : X → X為X上的一個(gè)壓縮映射，也就是說(shuō)，存在一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)q X內(nèi)的x和y，都有：

那么映射T在X內(nèi)有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x（這就是說(shuō)，Tx = x）。更進(jìn)一步，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)可以用以下的方法來(lái)求出：從X內(nèi)的任意一個(gè)元素x0開(kāi)始，并定義一個(gè)迭代序列xn = Txn-1，對(duì)于n = 1，2，3，……。這個(gè)序列收斂，且極限為x。以下的不等式描述了收斂的速率：

等價(jià)地：

且

滿足以上不等式的最小的q有時(shí)稱為利普希茨常數(shù)。

注意對(duì)于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般來(lái)說(shuō)是不足以保證不動(dòng)點(diǎn)的存在的，例如映射T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。但是，如果空間X是緊的，則這個(gè)較弱的假設(shè)也能保證不動(dòng)點(diǎn)的存在。

當(dāng)實(shí)際應(yīng)用這個(gè)定理時(shí)，最艱難的部分通常是恰當(dāng)?shù)囟xX，使得T實(shí)際上把元素從X映射到X，也就是說(shuō)，Tx總是X的一個(gè)元素。

證明

選擇任何x0∈ ∈ -->(X,d){\displaystyle x_{0}\in (X,d)}。對(duì)于每一個(gè)n∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}，定義xn=Txn? ? -->1{\displaystyle x_{n}=Tx_{n-1}\,\!}。我們聲稱對(duì)于所有的n∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle n\in \{1,2,\dots \}}，以下等式都成立：

我們用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。對(duì)于n=1{\displaystyle n=1\,\!}的情況，命題是成立的，這是因?yàn)椋?/span>

假設(shè)命題對(duì)于某個(gè)k∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}是成立的。那么，我們有：

從第三行到第四行，我們用到了歸納假設(shè)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)于所有的n∈ ∈ -->{1,2,… … -->}{\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}，以上的命題都成立。

設(shè)? ? -->>0{\displaystyle \epsilon >0\,\!}。由于0≤ ≤ -->q<1{\displaystyle 0\leq q{1,2,… … -->}{\displaystyle N\in \{1,2,\ldots \}}，使得：

利用以上的命題，我們便有對(duì)于任何m{\displaystyle m\,\!}，n∈ ∈ -->{0,1,… … -->}{\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}以及m>n≥ ≥ -->N{\displaystyle m>n\geq N}，都有：

第一行的不等式可以從三角不等式推出；第四行的級(jí)數(shù)是一個(gè)幾何級(jí)數(shù)，其中0≤ ≤ -->q<1{\displaystyle 0\leq q0{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}是(X,d){\displaystyle (X,d)\,\!}內(nèi)的一個(gè)柯西序列，所以根據(jù)完備性，它是收斂的。因此設(shè)x? ? -->=limn→ → -->∞ ∞ -->xn{\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}。我們作出兩個(gè)聲明：第一，x? ? -->{\displaystyle x^{*}\,\!}是T{\displaystyle T\,\!}的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，也就是說(shuō)，Tx? ? -->=x? ? -->{\displaystyle Tx^{*}=x^{*}\,\!}；第二，x? ? -->{\displaystyle x^{*}\,\!}是T{\displaystyle T\,\!}在(X,d){\displaystyle (X,d)\,\!}中的唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

為了證明第一個(gè)命題，我們注意到對(duì)于任何的n∈ ∈ -->{0,1,… … -->}{\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}，都有：

由于當(dāng)n→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle n\to \infty }時(shí)，qd(xn,x? ? -->)→ → -->0{\displaystyle qd(x_{n},x^{*})\to 0}，因此根據(jù)夾擠定理，可知limn→ → -->∞ ∞ -->d(xn+1,Tx? ? -->)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n+1},Tx^{*})=0}。這表明當(dāng)n→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle n\to \infty }時(shí)，xn→ → -->Tx? ? -->{\displaystyle x_{n}\to Tx^{*}}。但當(dāng)n→ → -->∞ ∞ -->{\displaystyle n\to \infty }時(shí)，xn→ → -->x? ? -->{\displaystyle x_{n}\to x^{*}}，且極限是唯一的；因此，一定是x? ? -->=Tx? ? -->{\displaystyle x^{*}=Tx^{*}\,\!}的情況。

為了證明第二個(gè)命題，我們假設(shè)y{\displaystyle y\,\!}也滿足Ty=y{\displaystyle Ty=y\,\!}。那么：

由于0≤ ≤ -->q<1{\displaystyle 0\leq q(1? ? -->q)d(x? ? -->,y)≤ ≤ -->0{\displaystyle 0\leq (1-q)d(x^{*},y)\leq 0}，這表明d(x? ? -->,y)=0{\displaystyle d(x^{*},y)=0\,\!}，于是根據(jù)正定性，x? ? -->=y{\displaystyle x^{*}=y\,\!}，定理得證。

逆定理

巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理有許多逆定理，以下的一個(gè)是Czes?aw Bessaga在1959年發(fā)現(xiàn)的：

設(shè)f:X→ → -->X{\displaystyle f:X\rightarrow X}為一個(gè)抽象集合的映射，使得每一個(gè)迭代f都有一個(gè)唯一的不動(dòng)點(diǎn)。設(shè)q為一個(gè)實(shí)數(shù)，0 < q < 1。那么存在X上的一個(gè)完備度量，使得f是壓縮映射，且q是壓縮常數(shù)。

推廣

一個(gè)有趣的事實(shí)是，若把某國(guó)的地圖縮小后印在該國(guó)領(lǐng)土內(nèi)部，那么在地圖上有且僅有這樣一個(gè)點(diǎn)，它在地圖中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。證明如下：

為了方便起見(jiàn)，這里把地球近似看作是正球體。

首先，按照經(jīng)緯度可以給地球表面上每一個(gè)點(diǎn)標(biāo)出坐標(biāo) (x, y)，其中前元是經(jīng)度、后元是緯度。又定義地面上任意兩點(diǎn)間的距離 d(A, B) 是 A 到 B 間大圓弧的弧長(zhǎng)。

其次，把這國(guó)家的地圖上的點(diǎn)按照其所代表點(diǎn)的實(shí)際經(jīng)緯度標(biāo)出坐標(biāo) (u, v)。

那么對(duì)于地圖上任意一點(diǎn) P 而言，它既在地圖上表示地點(diǎn) (up, vp)，又實(shí)際在地面上占有點(diǎn) (xp, yp)。顯然，這構(gòu)成了從集合 S={P|P 是地面上的點(diǎn)且 P 屬于該國(guó)領(lǐng)土} 到其本身的映射，現(xiàn)記作 M(P)=M((up, vp))=(xp, yp)。

又因?yàn)榈貓D是縮小的，即對(duì)于任意兩個(gè)地點(diǎn) A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一個(gè)壓縮映射。

事實(shí)上，取實(shí)數(shù) k>1 作比例尺比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定義知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，兩邊同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。換言之，存在實(shí)數(shù) q=1/k<1 滿足對(duì)于 S 內(nèi)所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，這里等號(hào)總是成立。

現(xiàn)在將 S 視為以 d 為度量的空間，那么它顯然是一個(gè)完備度量空間。

根據(jù)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，M 在 S 內(nèi)有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即該點(diǎn)恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D.

關(guān)于巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣，請(qǐng)參見(jiàn)無(wú)窮維空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理。

參考文獻(xiàn)

Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.

Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.

Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2. 

William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Bourbawiki上巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的證明

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