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升力公式

此定理和在二維流場(chǎng)中的翼型（或是翼展無窮大的圓柱）有關(guān)，可以計(jì)算單位翼展下的升力。當(dāng)環(huán)量Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma \,}已知，其升力L{\displaystyle L\,}除以翼展下的單位翼展升力（或表示為L(zhǎng)′{\displaystyle L"\,}）可以表示為以下的方程式：

其中

上述環(huán)量是沿著一個(gè)封閉圍道C{\displaystyle C}進(jìn)行，此圍道包覆著翼型或是圓柱，且沿著其正方向（逆時(shí)針）進(jìn)行。其路徑需在位流的范圍內(nèi)，不能在圓柱的邊界層內(nèi)。被積分式Vcos? ? -->θ θ -->{\displaystyle V\cos \theta \,速度局部流體速度沿著曲線C{\displaystyle C\,}切線方向的分量，且ds{\displaystyle ds\,}為曲線C{\displaystyle C\,}的無窮小面積。方程式(1)是庫塔-儒可夫斯基定理中的一個(gè)形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述庫塔-儒可夫斯基定理：

在使用庫塔-儒可夫斯基定理時(shí)，需注意環(huán)量Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }的計(jì)算。

環(huán)量和庫塔條件

一個(gè)產(chǎn)生升力的翼型或者具有彎度，或者是在均勻的流體中以一定攻角α α -->>0{\displaystyle \alpha >0\,}（機(jī)翼弦線和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一個(gè)銳利的后緣。上述條件類似鳥的翅膀，有銳利的后緣，有彎度，在天空中有一定的攻角。

實(shí)際的流體是有黏性的，流體速度在翼型邊緣為零，因此若考慮黏性流體，且以翼型形狀為圍道計(jì)算環(huán)量，其環(huán)量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會(huì)在后緣相會(huì)，而黏滯耗散會(huì)使流體不旋轉(zhuǎn)。這稱為真實(shí)流場(chǎng)的庫塔條件。普朗特發(fā)現(xiàn)若雷諾數(shù)Re=ρ ρ -->V∞ ∞ -->cAμ μ -->{\displaystyle Re={\frac {\rho V_{\infty }c_{A}}{\mu }}\,}夠大，攻角夠小，翼型夠薄，則流場(chǎng)可以分為靠近機(jī)翼小區(qū)域的黏滯層（稱為邊界層），以及其他區(qū)域的非黏性流。

庫塔和儒可夫斯基發(fā)現(xiàn)在計(jì)算雷諾數(shù)夠大，攻角夠小，厚度夠薄的翼型之壓力和升力時(shí)，若假定已考慮庫塔條件，可以假設(shè)整個(gè)流場(chǎng)是非黏性流。這稱為位流理論，在實(shí)務(wù)上結(jié)果相當(dāng)接近。在非黏性流施加庫塔條件相當(dāng)于計(jì)算環(huán)量。

簡(jiǎn)單來說，類似鳥翅膀的機(jī)翼自然會(huì)產(chǎn)生升力，在飛行中的流場(chǎng)滿足庫塔條件。若使用位流理論（在計(jì)算壓力及升力時(shí)假設(shè)是非黏性流及無旋轉(zhuǎn)流，計(jì)算阻力時(shí)用普朗特邊界層來近似），要求飛行時(shí)間符合庫塔條件，會(huì)得到一個(gè)由=庫塔-儒可夫斯基定理和環(huán)量產(chǎn)生的升力，和實(shí)際的升力非常接近。

推導(dǎo)

以下有二種推導(dǎo)方式，第一個(gè)是基于物理的直覺，較啟發(fā)式的推導(dǎo)，第二種是比較正式及技術(shù)式的推導(dǎo)，需要用到向量分析及復(fù)變分析的知識(shí)。

啟發(fā)式的推導(dǎo)

以較啟發(fā)式的說法，考慮一個(gè)薄的機(jī)翼，其翼弦為c{\displaystyle c}，有無限長(zhǎng)的翼展，在密度為ρ ρ -->{\displaystyle \rho空氣的空氣中移動(dòng)。令翼和氣流有一個(gè)攻角，使翼的一側(cè)的氣流速度為V{\displaystyle V}，另一側(cè)的氣流速度為V+v{\displaystyle V+v}，因此其環(huán)流為

機(jī)翼兩側(cè)的壓力差Δ Δ -->P{\displaystyle \Delta P}可以由伯努利定律求得

因此單位翼展的浮力為

此理論的微分版本可應(yīng)用在機(jī)翼中的每一個(gè)元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎(chǔ)。

正式的推導(dǎo)

較復(fù)雜情形下的升力

庫塔-儒可夫斯基定理預(yù)測(cè)的升力是以無粘性流的勢(shì)流理論為基礎(chǔ)，但若流場(chǎng)是穩(wěn)定且無分離的，庫塔-儒可夫斯基定理的結(jié)果很接近實(shí)際的黏性流。

在推導(dǎo)庫塔-儒可夫斯基定理時(shí)，有假設(shè)流場(chǎng)是無旋轉(zhuǎn)流，若在物體外有自由渦流，就像許多不穩(wěn)定流的情形，此流場(chǎng)為旋轉(zhuǎn)流，在推導(dǎo)升力時(shí)就需要一些更復(fù)雜的理論。

小攻角下突然啟動(dòng)的流場(chǎng)：若是機(jī)翼突然加速，或是攻角較小的情形下突然啟動(dòng)的流場(chǎng)，在機(jī)翼后緣會(huì)連續(xù)的出現(xiàn)渦片（英語：vortex sheet）泄離，此時(shí)的升力是時(shí)變不穩(wěn)定的。若是小攻角下啟動(dòng)的流場(chǎng)，渦片會(huì)延著平面的路徑，升力系數(shù)（英語：lift coefficient）的曲線會(huì)隨時(shí)間而變化，其形式會(huì)是Wagner函數(shù)。此時(shí)最終升力會(huì)如同庫塔-儒可夫斯基定理所預(yù)測(cè)的一樣，但初升力只有最終升力的一半。當(dāng)機(jī)翼前進(jìn)七倍翼弦的距離時(shí)，其升力才會(huì)達(dá)到最終升力的90%。

大攻角下突然啟動(dòng)的流場(chǎng)：若攻角夠大的話，機(jī)翼后緣的渦片一開始會(huì)是螺旋形的，理論升力在一開始會(huì)是無限大。一般認(rèn)為升力的曲線是隨時(shí)間單調(diào)遞增的，但在大攻角下，會(huì)有一段很短暫的時(shí)間會(huì)有升力下降的情形。

大攻角下啟動(dòng)，有銳利的機(jī)翼前緣：若針對(duì)一片平粄，也有銳利的前緣，渦片泄離會(huì)出現(xiàn)在前緣，而前緣的渦片泄離有二種不同的效果：

Lagally定理：若在機(jī)翼外面有固定的渦源，其對(duì)升力的修正可以表示為渦源的強(qiáng)度，及因其他因素造成渦源處誘導(dǎo)速度，這稱為L(zhǎng)agally定理。。

相關(guān)條目

馬格努斯效應(yīng)

馬蹄形旋渦

升力系數(shù)（英語：Lift coefficient）

庫塔條件

翅膀

參考資料

Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press

Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0

A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3

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