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經(jīng)典四階龍格庫塔法

在各種龍格－庫塔法當(dāng)中有一個方法十分常用，以至于經(jīng)常被稱為“RK4”或者就是“龍格－庫塔法”。該方法主要是在已知方程導(dǎo)數(shù)和初值信息，利用計算機(jī)仿真時應(yīng)用，省去求解微分方程的復(fù)雜過程。

令初值問題表述如下。

則，對于該問題的RK4由如下方程給出：

其中

這樣，下一個值（yn+1）由現(xiàn)在的值（yn）加上時間間隔（h）和一個估算的斜率的乘積所決定。該斜率是以下斜率的加均：

k1是時間段開始時的斜率；

k2是時間段中點的斜率，通過歐拉法采用斜率k1來決定y在點tn + h/2的值；

k3也是中點的斜率，但是這次采用斜率k2決定y值；

k4是時間段終點的斜率，其y值用k3決定。

當(dāng)四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權(quán)值：

RK4法是四階方法，也就是說每步的誤差是h階，而總積累誤差為h階。

注意上述公式對于標(biāo)量或者向量函數(shù)（y可以是向量）都適用。

顯式龍格庫塔法

顯式龍格－庫塔法是上述RK4法的一個推廣。它由下式給出

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但卻等價的定義）。

要給定一個特定的方法，必須提供整數(shù)s（級數(shù)），以及系數(shù) aij（對于1 ≤ j < i ≤ s）, bi（對于i = 1, 2, ..., s）和ci（對于i = 2, 3, ..., s）。這些數(shù)據(jù)通常排列在一個助記工具中，稱為Butcher tableau（得名自John C. Butcher）：

龍格庫塔法是自洽的，如果

如果要求方法的精度為p階，即截斷誤差為O(h)的，則還有相應(yīng)的條件。這些可以從截斷誤差本身的定義中導(dǎo)出。例如，一個2級2階方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。

例子

RK4法處于這個框架之內(nèi)。其表為：

然而，最簡單的龍格-庫塔法是（更早發(fā)現(xiàn)的）歐拉方法，其公式為yn+1=yn+hf(tn,yn){\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}。這是唯一自洽的一級顯式龍格庫塔方法。相應(yīng)的表為：

隱式龍格庫塔方法

以上提及的顯式龍格庫塔法一般來講不適用于求解剛性方程。這是因為顯式龍格庫塔方法的穩(wěn)定區(qū)域被局限在一個特定的區(qū)域里。顯式龍格庫塔方法的這種缺陷使得人們開始研究隱式龍格庫塔方法，一般而言，隱式龍格庫塔方法具有以下形式：

其中

在顯式龍格庫塔方法的框架里，定義參數(shù)aij{\displaystyle a_{ij}}的矩陣是一個下三角矩陣，而隱式龍格庫塔方法并沒有這個性質(zhì)，這是兩個方法最直觀的區(qū)別：

需要注意的是，與顯式龍格庫塔方法不同，隱式龍格庫塔方法在每一步的計算里需要求解一個線性方程組，這相應(yīng)的增加了計算的成本。

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