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主要等式拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型主要有兩個(gè)等式。第一個(gè)是資本積累的動態(tài)法則：k是每個(gè)工人的資本、k˙˙-->{\displaystyle{\dot{k}}}是時(shí)間方向上每個(gè)工人資本的變化量、c是每個(gè)工人的消費(fèi)、f(k)是每個(gè)工人的產(chǎn)出、δδ-->{\displaystyle\delta\,}是資本的折舊率。這一等式投資地表達(dá)了投資或者說每個(gè)工人資本的增量，是沒有被消費(fèi)的那一部分產(chǎn)出，減去資本的折舊率。投資，也就因此等于儲蓄。I是投資水平，Y是收入水平，s是儲蓄率或者說是用于儲蓄的那部分占總收入的比例。第二個(gè)等式考慮了家庭的儲蓄行為，并不像第一式那樣直觀。如果家庭想要最大化跨期消費(fèi)，在時(shí)間線上的每一點(diǎn)都需要將今天消費(fèi)的與未來消費(fèi)的邊際效用進(jìn)行比較。類似的，也要考慮未來消費(fèi)的邊際收益和邊際成本。因?yàn)檫@是一個(gè)跨期問題，所以需要涉及速率相等而不是水平的問題。為什么家庭偏好于現(xiàn)在而非在...

證明設(shè)我們需要證明如果αα-->{\displaystyle\alpha}=0且ββ-->{\displaystyle\beta}=0，則γγ-->{\displaystyle\gamma}=0。第一步利用恒等式可將αα-->{\displaystyle\alpha}、ββ-->{\displaystyle\beta}及γγ-->{\displaystyle\gamma}表述為以下形式：第二步利用恒等式可得以及第三步利用數(shù)量積的分配律，可得：第四步利用恒等式可得：第五步把這些等式相加，得：因此，如果αα-->{\displaystyle\alpha}=0且ββ-->{\displaystyle\beta}=0，則γγ-->{\displaystyle\gamma}=0。證畢。參見布列安桑定理帕斯卡定理笛沙格定理

歷史曼杜布拉庫斯是特里諾文特人王的兒子。他的父親在凱撒的《高盧戰(zhàn)記》中被稱為伊瑪努恩提烏斯（英語：Imanuentius），不過于公元前54年部落被推翻，他的父親也被卡西維拉努斯殺害。曼杜布拉庫斯逃往高盧。投靠了凱撒?？ㄎ骶S拉努斯則在不列顛領(lǐng)導(dǎo)了反對羅馬人的聯(lián)盟，被擊敗后，他在投降書立下了恢復(fù)曼杜布拉庫斯王位的條約。

擴(kuò)展閱讀本條目出自已經(jīng)處于公有領(lǐng)域的：Chisholm,Hugh(編).大英百科全書第十一版.劍橋大學(xué)出版社.1911年.

獲得者獲得該頭銜的人有（粗體為羅馬帝國皇帝）：儒略-克勞狄王朝尼祿·克勞狄·德魯蘇斯日耳曼尼庫斯·尤利烏斯·凱撒卡利古拉克勞狄一世尼祿參見羅馬軍事頭銜列表