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主要等式

拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型主要有兩個等式。

第一個是資本積累的動態(tài)法則：

k是每個工人的資本、 k ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {k}}} 是時間方向上每個工人資本的變化量、c是每個工人的消費、 f(k)是每個工人的產(chǎn)出、 δ δ --> {\displaystyle \delta \,} 是資本的折舊率。這一等式投資地表達了投資或者說每個工人資本的增量，是沒有被消費的那一部分產(chǎn)出，減去資本的折舊率。投資，也就因此等于儲蓄。

I是投資水平，Y是收入水平，s是儲蓄率或者說是用于儲蓄的那部分占總收入的比例。

第二個等式考慮了家庭的儲蓄行為，并不像第一式那樣直觀。如果家庭想要最大化跨期消費，在時間線上的每一點都需要將今天消費的與未來消費的邊際效用進行比較。類似的，也要考慮未來消費的邊際收益和邊際成本。因為這是一個跨期問題，所以需要涉及速率相等而不是水平的問題。為什么家庭偏好于現(xiàn)在而非在未來消費，主要有兩個原因。第一，他們會將未來的消費進行貼現(xiàn)。第二，因為效用函數(shù)為凹函數(shù)，家庭更偏好于一個光滑的消費曲線。一個遞增或者遞減的消費曲線，會降低在未來進行消費的效用。因此，下列等式表達了各種速率的最優(yōu)關(guān)系：

儲蓄回報率 = 消費貼現(xiàn)率 ? 邊際效用的變化率 × 消費的增長率

數(shù)學(xué)語言表示如下：

一組與此模型穩(wěn)態(tài)所需要的效用函數(shù)叫做恒定相對風(fēng)險厭惡（CRRA）效用函數(shù)：

因此，我們可得：

求解上述消費增長動態(tài)方程，可得：

這就是模型的第二個重要動態(tài)方程，“歐拉方程”。

新古典生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的，所以利率r等于每個工人每份資本的邊際產(chǎn)出。以柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為例：

代表毛利率：

因此凈利率r

令 k ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {k}}} 以及 c ˙ ˙ --> {\displaystyle {\dot {c}}} 等于零，我們即可以獲得這一模型的穩(wěn)態(tài)。

參見

拉姆齊問題

擴展閱讀

Barro, Robert J.; Sala-i-Martin, Xavier. Growth Models with Consumer Optimization. Economic Growth Second. New York: McGraw-Hill. 2004: 85–142. ISBN 0-262-02553-1.

Blanchard, Olivier Jean; Fischer, Stanley. Consumption and Investment: Basic Infinite Horizon Models. Lectures on Macroeconomics. Cambridge: MIT Press. 1989: 37–89. ISBN 0-262-02283-4.

Dasgupta, Partha S.; Heal, Geoffrey M. Economic Theory and Exhaustible Resources. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1979. ISBN 0-7202-0312-0.

Romer, David. Infinite-Horizon and Overlapping-Generations Models. Advanced Macroeconomics Fourth. New York: McGraw-Hill. 2011: 49–77. ISBN 978-0-07-351137-5.

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