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                  猜想
                  
          
                  
            
                2020-10-16
            
            
                  出處：族譜網(wǎng)
                  
            
                  作者：阿族小譜
                  
            
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                  評(píng)論:0
                  
          
                  
          
                  
            
                  
              
                  的解決方式證明正式數(shù)學(xué)是以可以驗(yàn)證的事實(shí)為基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)上，一個(gè)猜想不管有多少的例子支持，都無(wú)法讓猜想變成定理，因?yàn)橹灰幸粋€(gè)反例立刻就可以推翻此一猜想。數(shù)學(xué)家會(huì)設(shè)法為猜想尋找反例，有時(shí)數(shù)學(xué)期刊的論文內(nèi)容會(huì)提到針對(duì)猜想尋找反例的范圍已經(jīng)超過(guò)以往的紀(jì)錄。例如考拉茲猜想內(nèi)容是特定的整數(shù)數(shù)列是否會(huì)結(jié)束在特定的一個(gè)數(shù)值，已經(jīng)針對(duì)1.2×10以下的所有整數(shù)進(jìn)行測(cè)試。不過(guò)沒(méi)有找到反證不代表反證不存在，也不代表猜想成立，有可能有極少數(shù)的反證存在，只是因?yàn)閿?shù)值太大或是其他原因，尚未找到這個(gè)反證。一個(gè)猜想只有在邏輯上不可能為誤時(shí)，才能視為此一猜想成立。作法有許多種，細(xì)節(jié)可以參考證明技巧。若猜想的可能反例只有有限多組時(shí)，有一種證明方式稱為“暴力法”（bruteforce），就是用所有的反例一一驗(yàn)證，確定它們都不是反例。因?yàn)榭赡芊蠢臄?shù)量可能很多，此時(shí)的暴力法可能需要配合一些實(shí)際的作法，例如用電腦算法來(lái)確認(rèn)所有的...
                  
            
                  
            
            
                  的解決方式
                   

                  證明
                   

                  正式數(shù)學(xué)是以可以驗(yàn)證的事實(shí)為基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)上，一個(gè)猜想不管有多少的例子支持，都無(wú)法讓猜想變成定理，因?yàn)橹灰幸粋€(gè)反例立刻就可以推翻此一猜想。數(shù)學(xué)家會(huì)設(shè)法為猜想尋找反例，有時(shí)數(shù)學(xué)期刊的論文內(nèi)容會(huì)提到針對(duì)猜想尋找反例的范圍已經(jīng)超過(guò)以往的紀(jì)錄。例如考拉茲猜想內(nèi)容是特定的整數(shù)數(shù)列是否會(huì)結(jié)束在特定的一個(gè)數(shù)值，已經(jīng)針對(duì) 1.2 × 10以下的所有整數(shù)進(jìn)行測(cè)試。不過(guò)沒(méi)有找到反證不代表反證不存在，也不代表猜想成立，有可能有極少數(shù)的反證存在，只是因?yàn)閿?shù)值太大或是其他原因，尚未找到這個(gè)反證。
                   

                  一個(gè)猜想只有在邏輯上不可能為誤時(shí)，才能視為此一猜想成立。作法有許多種，細(xì)節(jié)可以參考證明技巧。
                   

                  若猜想的可能反例只有有限多組時(shí)，有一種證明方式稱為“暴力法”（brute force），就是用所有的反例一一驗(yàn)證，確定它們都不是反例。因?yàn)榭赡芊蠢臄?shù)量可能很多，此時(shí)的暴力法可能需要配合一些實(shí)際的作法，例如用電腦算法來(lái)確認(rèn)所有的可能反例都不是反例。像1976年及1977年的四色定理暴力法證明，一開(kāi)始也有人質(zhì)疑，最后在2005年由定理證明軟件確認(rèn)過(guò)結(jié)果無(wú)誤。
                   

                  若猜想已被證明，猜想就不再是猜想，而是定理了。有許多重要的定理是從猜想開(kāi)始的，例如幾何化猜想（證明了龐加萊猜想）、費(fèi)馬大定理等。
                   

                  反證
                   

                  若已找到反例的猜想，有時(shí)會(huì)稱為“假猜想”，例如波利亞猜想（英語(yǔ)：Pólya conjecture）及歐拉猜想。
                   

                  不能解決的猜想
                   

                  并非所有的猜想都能解決。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)已被顯示為不能決定（或獨(dú)立）于集合論公理體系?？梢詫⒋岁愂龌蚱浞蠢鳛橐粋€(gè)新的體系而保持一致。（例如可以視平行公理或真或假）。
                   

                  在這個(gè)情況，若果某個(gè)證明使用了這個(gè)陳述，研究者通常會(huì)找尋另一個(gè)不須假設(shè)的解（同樣道理，想像一件誘人的事情——?dú)W幾理德幾何的陳述可以只用中立幾何（axioms of neutral geometry）的公理來(lái)證明，那就是沒(méi)有平行公理）。除非是專注研究這個(gè)公理，研究者通常不必?fù)?dān)心結(jié)果要不要選擇公理。
                   

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                  ——— 沒(méi)有了 ———
                  
            
          
                  

          
                  
            
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                  雅可比行列式令n>1為固定的整數(shù)，考慮多項(xiàng)式F1,...,Fn，變量為X=(X1,...,Xn)，系數(shù)在特征為零的代數(shù)閉域k中。（可假設(shè)k為復(fù)數(shù)域C{\displaystyle\mathbb{C}}。）也就是說(shuō)F1,……-->,Fn∈∈-->k[X]{\displaystyleF_{1},\ldots,F_{n}\ink[X]}。定義函數(shù)F:k→k為函數(shù)F的雅可比行列式JF是由F的偏導(dǎo)數(shù)組成的n×n矩陣的行列式JF也是變量為X的多項(xiàng)式函數(shù)。敘述多變量微積分的反函數(shù)定理指出如在某一點(diǎn)有JF≠0，那么在該點(diǎn)附近F有反函數(shù)。由于k是代數(shù)閉域，JF是多項(xiàng)式，因此JF必定在某些點(diǎn)上為0，除非JF是非零的常數(shù)函數(shù)。以下是一項(xiàng)基本結(jié)果：而其反命題則為雅可比猜想：令k{\displaystylek}為一特征為零的代數(shù)閉域。若F=(F1,……-->,Fn)∈∈-->...
                  
            
                  
                            
            
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                  基本描述在1900年，龐加萊曾聲稱，用他基于恩里科·貝蒂的工作而發(fā)展出的同調(diào)論，可以判定一個(gè)三維流形是否三維球面。不過(guò)，他在1904年發(fā)表的一篇論文中，舉出了一個(gè)反例，現(xiàn)在稱為龐加萊同調(diào)球面，與三維球面有相同的同調(diào)群。他引進(jìn)了一個(gè)新的拓?fù)洳蛔兞?，稱為基本群，并且證明他的反例與三維球面的基本群不同。三維球面有平凡基本群，也就是說(shuō)是單連通的。他提出以下猜想：上述簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是：每一個(gè)沒(méi)有破洞的封閉三維物體，都拓?fù)涞葍r(jià)于三維的球面。粗淺的比喻即為：如果我們伸縮圍繞一個(gè)柳橙表面的橡皮筋，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮筋以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)甜甜圈表面上，那么不扯斷橡皮筋或者甜甜圈，是沒(méi)有辦法把它不離開(kāi)表面而又收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，柳橙表面是“單連通的”，而甜甜圈表面則不是。該猜想是一個(gè)屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的具有基本意義的命題，對(duì)“...
                  
            
                  
                            
            
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                  歷史黎曼ζ函數(shù)在臨界線Re(s)=1/2上的實(shí)部（紅色）和虛部（藍(lán)色）。我們可以看到最起初的幾個(gè)非平凡零點(diǎn)就位于Im(s)=±14.135,±21.022和±25.011上。黎曼ζ函數(shù)實(shí)部與虛部的數(shù)值比較圖，也就是Re(ζ(s))vs.Im(ζ(s))，沿著臨界線s=it+1/2，t由0到34黎曼1859年在他的論文《überdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGr??e》中提及了這個(gè)著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒(méi)有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數(shù)的不平凡零點(diǎn)對(duì)稱地分布在直線s=?+it上，以及他知道它所有的不平凡零點(diǎn)一定位于區(qū)域0≤Re(s)≤1中。1896年，雅克·阿達(dá)馬和CharlesJeandelaVallée-Poussin分別獨(dú)立地證明了在直線Re(s)=1上沒(méi)有零點(diǎn)。連同了黎曼對(duì)于不非凡零點(diǎn)已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了...
                  
            
                  
                            
        
                  
      
                  
      
      
      
      
      
      
                  
        
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