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內(nèi)容

對(duì)正整數(shù)n，rad? ? -->(n){\displaystyle \operatorname {rad} (n)}表示n{\displaystyle n}的質(zhì)因數(shù)的積，稱(chēng)為n的根基（radical）。例如

若正整數(shù)a, b, c = a + b互質(zhì)，“通?！睍?huì)有c < rad(abc)，例如：

但是也有反例，例如：

如上有多于一個(gè)整數(shù)可被小的質(zhì)數(shù)的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計(jì)劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想（一）

abc猜想也有以下等價(jià)的表述方式：

abc猜想（二）

abc猜想第三個(gè)表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質(zhì)（quality），定義為：

例如：

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質(zhì)正整數(shù)的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大于1的情況較少出現(xiàn)。

abc猜想（三）

abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子：

這三個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，且有an+bn=cn{\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}}。注意到an{\displaystyle a_{n}}可被2n+2{\displaystyle 2^{n+2}}整除，因此有

因此

當(dāng)n趨向無(wú)限大時(shí)，2n+13{\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}}也趨向無(wú)限大。因此不存在常數(shù)C，使得 c < C rad(abc)對(duì)所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結(jié)果

如果abc猜想得證，那么有很多結(jié)果可以推導(dǎo)出來(lái)。其中一些結(jié)果，在abc猜想提出后，已經(jīng)以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。

Thue–Siegel–Roth定理（英語(yǔ)：Thue–Siegel–Roth theorem）

費(fèi)馬大定理對(duì)所有足夠大指數(shù)的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） （Granville 2002）

Mordell猜想（英語(yǔ)：Mordell conjecture）（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）（Elkies 1991）

Erd?s–Woods猜想（英語(yǔ)：Erd?s–Woods conjecture），除了有限多的反例。（Langevin 1993）

存在無(wú)限多非維費(fèi)里希素?cái)?shù)（Silverman 1988）

Marshall Hall猜想（英語(yǔ)：Marshall Hall"s conjecture）的弱形式（Nitaj 1996）

Fermat–Catalan猜想（英語(yǔ)：Fermat–Catalan conjecture）（Pomerance 2008）

用勒讓德符號(hào)構(gòu)成的L函數(shù)L(s,(?d/.))沒(méi)有Siegel零點(diǎn)（英語(yǔ)：Siegel zero）（需要abc猜想在代數(shù)數(shù)域上的一致形式，不只在有理整數(shù)上。）（Granville 2000）

對(duì)有至少3個(gè)簡(jiǎn)單零點(diǎn)的多項(xiàng)式P(x)，在整數(shù)x取的所有值中，只有有限個(gè)次方數(shù)。

Tijdeman定理（英語(yǔ)：Tijdeman"s theorem）的推廣形式，關(guān)于y = x + k的解的個(gè)數(shù)（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關(guān)于Ay = Bx + k的解的個(gè)數(shù)。

等價(jià)于Granville–Langevin 猜想

等價(jià)于修改后的Szpiro猜想（英語(yǔ)：Szpiro"s conjecture）（Oesterlé 1988）

Brocard問(wèn)題（英語(yǔ)：Brocard"s problem）n! + A= k，對(duì)任何給定的整數(shù)A，都只有有限個(gè)解。（D?browski 1996）

理論結(jié)果

abc猜想導(dǎo)出c有abc的根基的接近線性函數(shù)的上界；不過(guò)，現(xiàn)在已知的是指數(shù)上界。確切結(jié)果如下：

上述的上界中，K1是不依賴(lài)a, b, c的常數(shù)，而K2和K3是（以可有效計(jì)算的方式）依賴(lài)于ε的常數(shù)，但不依賴(lài)于a, b, c。上述的上界對(duì)c > 2的三元組都成立。

計(jì)算結(jié)果

2006年，荷蘭的萊頓大學(xué)數(shù)學(xué)系與Kennislink科學(xué)研究所合作，開(kāi)展ABC@Home計(jì)劃。這個(gè)計(jì)劃是網(wǎng)格計(jì)算系統(tǒng)，目的在找出更多的正整數(shù)三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有限個(gè)例子或反例不能解決abc猜想，但是期望借著這個(gè)計(jì)劃發(fā)現(xiàn)的三元組的模式，可以得出對(duì)這個(gè)猜想數(shù)論于數(shù)論的新的洞見(jiàn)。

下述的q是上節(jié)定義的品質(zhì)。

截至2014年4月 (2014-04)，ABC@Home找出23.8百萬(wàn)個(gè)三元組，現(xiàn)今目標(biāo)在找出c不大于2的所有三元組(a,b,c)。

歷史

1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個(gè)較為精確的猜想，將rad? ? -->(abc){\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}用ε ε -->? ? -->ω ω -->rad? ? -->(abc){\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)}取代，在此ω ω -->{\displaystyle \omega }是a,b,c{\displaystyle a,b,c}的不同質(zhì)因數(shù)的數(shù)目。

2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，后來(lái)被發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)誤。

2012年8月，日本京都大學(xué)數(shù)學(xué)家望月新一發(fā)表長(zhǎng)約五百頁(yè)的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎(chǔ)。該證明目前正由其他數(shù)學(xué)專(zhuān)家檢查中。當(dāng)Vesselin Dimitrov和Akshay Venkatesh在2012年10月發(fā)現(xiàn)一處錯(cuò)誤時(shí)，望月新一在他的網(wǎng)站確認(rèn)了此錯(cuò)誤，并聲稱(chēng)這個(gè)錯(cuò)誤能夠在近期修補(bǔ)，不會(huì)影響最后的結(jié)果。2012年12月，望月新一在自己主頁(yè)貼出了自己對(duì)所有四篇文章的修改稿。主要包含27條重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屢次對(duì)文章進(jìn)行了修訂，新修正了18處錯(cuò)誤，當(dāng)中很多也是打字錯(cuò)誤。望月新一在網(wǎng)上公開(kāi)了2013年以及2014年的檢驗(yàn)進(jìn)度報(bào)告。

參考

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^[1]

文獻(xiàn)

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連結(jié)

ABC@homeDistributed Computing project calledABC@Home.

Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.

MathWorld上abc Conjecture的資料，作者：埃里克·韋斯坦因。

Abderrahmane Nitaj"sABC conjecture home page

Bart de Smit"sABC Triples webpage

/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf

The amazing ABC conjecture

The ABC"s of Number Theoryby Noam D. Elkies

Questions about Numberby Barry Mazur

Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjectureonMathOverflow

ABC ConjecturePolymath project wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki"s papers.

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