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歷史

 黎曼ζ函數(shù)在臨界線Re(s) = 1/2上的實部（紅色）和虛部（藍(lán)色）。我們可以看到最起初的幾個非平凡零點就位于Im(s) = ±14.135, ±21.022和±25.011上。

 黎曼ζ函數(shù)實部與虛部的數(shù)值比較圖，也就是Re(ζ(s)) vs. Im(ζ(s))，沿著臨界線s = it + 1/2，t 由0到34

黎曼1859年在他的論文《über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr??e》中提及了這個著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數(shù)的不平凡零點對稱地分布在直線s = ? + it上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位于區(qū)域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。

1896年，雅克·阿達(dá)馬和Charles Jean de la Vallée-Poussin分別獨立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對于不非凡零點已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處于區(qū)域0 < Re(s) < 1上。這是素數(shù)定理第一個完整證明中很關(guān)鍵的一步。

1900年，大衛(wèi)·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中，與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上的第8號問題。同時黎曼猜想也是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數(shù)學(xué)研究所的千禧年大獎數(shù)學(xué)難題的。希爾伯特曾說，如果他在沉睡1000年后醒來，他將問的第一個問題便是：黎曼猜想得到證明了嗎？

1914年，高德菲·哈羅德·哈代證明了有無限個零點在直線Re(s) = ?上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位于其它地方（而且有可能是最主要的零點）。后來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作（臨界線定理）也就是計算零點在臨界線Re(s) = ?上的平均密度。

近年來的工作主要集中于清楚的計算大量零點的位置（希望借此能找到一個反例）以及對處于臨界線以外零點數(shù)目的比例置一上界（希望能把上界降至零）。

黎曼猜想與素數(shù)定理

黎曼猜想傳統(tǒng)的表達(dá)式隠藏了這個猜想的真正重要性。黎曼ζ函數(shù)與素數(shù)的分布有著深厚的連結(jié)。Helge von Koch在1901年證明了黎曼猜想等價于素數(shù)定理一個可觀的強化：給出任何ε > 0，我們有

式中π(x)為素數(shù)計數(shù)函數(shù)，ln(x)為x 的自然對數(shù)，以及右手邊用上了大O符號。一個由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等價于

黎曼ζ函數(shù)的零點與素數(shù)滿足一個稱為明確公式的對偶性，這表明了：在調(diào)和分析的意義下，黎曼ζ函數(shù)的零點可視為素數(shù)分布的諧波。

將黎曼ζ函數(shù)代為更一般的L-函數(shù)，此時仍有相應(yīng)的猜想：整體L-函數(shù)的非平凡零點的實部必等于 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 。這被稱為廣義黎曼猜想。函數(shù)域上的廣義黎曼猜想已被證明，數(shù)域的情形仍懸而未決。

黎曼猜想之結(jié)果及其等價命題

黎曼猜想的實際用途包括一些在黎曼猜想成立前提底下能被證明為真的命題，當(dāng)中有些更被證明了跟黎曼猜想等價。其中一個就是以上素數(shù)定理誤差項的增長率。

默比烏斯函數(shù)的增長率

其中一個命題牽涉了默比烏斯函數(shù)μ。命題“等式

在s的實部大于?的時候成立，而且右邊項的和收斂”就等價于黎曼猜想。由此我們能夠總結(jié)出假如Mertens函數(shù)的定義為

那黎曼猜想就等價于對任何 ε ε --> > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 都有

這將會對于M的增長給出了一個更緊的限制，因為即使沒有黎曼猜想我們也能得出

（關(guān)于這些符號的意思，見大O符號。）

積性函數(shù)增長率

黎曼猜想等價于一些除μ(n)以外一些積性函數(shù)增長率的猜想。例如，約數(shù)函數(shù)σ(n)由下式給出：

那在n > 5040的時候，

這名為Robin定理并在1984年以Guy Robin命名。另一個有關(guān)的上限在2002年由Jeffrey Lagarias提出，他證明了黎曼猜想等價于命題“對于任意自然數(shù)n，

而 H n {\displaystyle H_{n}} 為第n個調(diào)和數(shù) H n := 1 + 1 2 + … … --> + 1 n {\displaystyle H_{n}:=1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{n}}} 。

里斯判準(zhǔn)與二項式系數(shù)和

里斯判準(zhǔn)由里斯在1916年給出，它斷言黎曼猜想等價于下式對所有 ? ? --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 成立

哈代稍后于1918年以波萊爾求和法及梅林變換證明了下式的積分表法。

其它相關(guān)的積性函數(shù)的增長率也具有與黎曼猜想等價的表述。

考慮二項式系數(shù)和

Báez-Duarte與Flajolet、Brigitte Vallée證明了黎曼猜想等價于對所有的 ? ? --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 下式成立

類似的還有以下級數(shù)

對此。Flajolet與Vepstas 證明了黎曼猜想等價于對所有的 ? ? --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 下式成立

其中的 C ? ? --> {\displaystyle C_{\epsilon }} 是依賴于 ? ? --> {\displaystyle \epsilon } 的某個常數(shù)。

韋伊判準(zhǔn)、李判準(zhǔn)

韋伊判準(zhǔn)斷言某些函數(shù)的正定性等價于廣義黎曼猜想。與此相似的還有李判準(zhǔn)，這斷言某些數(shù)列的正性等價于黎曼猜想。

跟法里數(shù)列的關(guān)系

另外兩個跟黎曼猜想等價的命題牽涉了法里數(shù)列。假如Fn是法里數(shù)列中的第n項，由1/n開始而終于1/1，那命題“給出任何e > ?

”等價于黎曼猜想。在這里 m = ∑ ∑ --> i = 1 n ? ? --> ( i ) {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\phi (i)} 是法里數(shù)列中n階項的數(shù)目。類似地等價于黎曼猜想的命題是“給出任何e > ?1.

跟群論的關(guān)系

黎曼猜想等價于群論中的一些猜想。舉例說，g（n），是對稱群Sn的所有元素的秩之中，最大的一個，也就是蘭道函數(shù)，則黎曼猜想等價于：對夠大的n，下式成立：

臨界線定理

黎曼猜想等價于命題“ ζ ζ --> ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} 的導(dǎo)函數(shù) ζ ζ --> ′ ( s ) {\displaystyle \zeta "(s)} 在區(qū)域

上無零點?！?函數(shù)ζ在臨界線上只有單零點的充要條件是其導(dǎo)函數(shù)在臨界線上非零。所以若黎曼猜想成立，命題中的非零區(qū)域可以延伸為 0 ( s ) ≤ ≤ --> 1 2 {\displaystyle 0 。這條進(jìn)路帶來了一些成果。Norman Levinson將此條件加細(xì)，從而得到了較強的臨界線定理。

已否證的猜想

一些比黎曼猜想強的猜想曾被提出，但它們有被否證的趨勢。Paul Turan證明了假如級數(shù)

當(dāng) R e ( s ) {\displaystyle Re(s)} 大于1時沒有零點，則黎曼猜想成立，但Hugh Montgomery證明了這前提并不成立。另一個更強的默滕斯猜想也同樣被否證。

相對弱的猜想

Lindel?f猜想

黎曼猜想有各種比較弱的結(jié)果；其中一個是關(guān)于ζ函數(shù)于臨界線上的增長速度的Lindel?f猜想，表明了給出任意的e > 0，當(dāng)t趨向無限，

記第n 個素數(shù)為pn，一個由Albert Ingham得出的結(jié)果顯示，Lindel?f猜想將推導(dǎo)出“給出任意e > 0，對足夠大的n 有

不過這個結(jié)果比大素數(shù)間隙猜想弱，詳如下述。

大素數(shù)間隙猜想

另一個猜想是大素數(shù)間隙猜想。哈拉爾德·克拉梅爾證明了：假設(shè)黎曼猜想成立，素數(shù)p 與其后繼者之間的間隙將會為 O ( p ln ? ? --> p ) {\displaystyle O({\sqrt {p}}\ln p)} 。平均來說，該間隙的階僅為 O ( ln ? ? --> p ) {\displaystyle O(\ln p)} ，而根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果，它的增長率并不似黎曼猜想所預(yù)測的那么大。

證明黎曼猜想的嘗試

過去的一百多年，許多數(shù)學(xué)家聲稱證明了黎曼猜想。截至2015年為止，尚有一些證明還未被驗證；但它們都被數(shù)學(xué)社群所質(zhì)疑，多數(shù)專家并不相信它們是正確的。艾希特大學(xué)的Matthew R. Watkins為這些或是嚴(yán)肅或是荒唐的證明編輯了一份列表。其他一些證明可在arXiv數(shù)據(jù)庫中找到。

黎曼猜想證明的可能的著手方向

由于黎曼猜想是有關(guān)2維變量（臨界線（critical line）上的虛數(shù)解和黎曼ζ函數(shù)中的自然數(shù)變量n）的問題，故不但要考慮在2維變量下的情況，似乎還可以從更高維數(shù)（例如3或4維甚至更高維）變量的情況下來考慮問題。

另外，由于黎曼猜想從本質(zhì)上來說是證明一個方程的非平凡的復(fù)數(shù)解必然是1/2+bi的形式（b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位），因此應(yīng)該與代數(shù)學(xué)是密不可分的；就是說，代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論甚至代數(shù)拓?fù)涞葘W(xué)科的知識是不可缺少的。如果能從上述幾個分支學(xué)科之間找到新的聯(lián)系，以及對這些分支學(xué)科有進(jìn)一步的新發(fā)現(xiàn)，那可能可以為證明黎曼猜想打下基礎(chǔ)，或為黎曼猜想的證明做好準(zhǔn)備。

與算子理論的可能聯(lián)系

長久以來，人們猜測黎曼猜想的“正解”是找到一個適當(dāng)?shù)淖园樗惴?，再由實特征值的判?zhǔn)導(dǎo)出 ζ ζ --> ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} 零點實部的資訊。在此方向上已有許多工作，卻仍未有決定性的進(jìn)展。

黎曼ζ函數(shù)的統(tǒng)計學(xué)性質(zhì)與隨機矩陣的特征值有許多相似處。這為希爾伯特-波利亞猜想提供了一些支持。

在1999年，Michael Berry與Jon Keating猜想經(jīng)典哈密頓函數(shù) H = x p {\displaystyle H=xp} 有某個未知的量子化 H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}} ，使得下式成立

更奇特的是，黎曼ζ函數(shù)的零點與算子 1 / 2 + i H ^ ^ --> {\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}} 的譜相同。正則量子化的情形則相反：正則量子化引致海森堡測不準(zhǔn)原理 [ x , p ] = 1 / 2 {\displaystyle [x,p]=1/2} ，并使量子諧振子的譜為自然數(shù)。重點在于，所求的哈密頓算符應(yīng)當(dāng)是個閉自伴算符，方能滿足希爾伯特-波利亞猜想之要求。

搜尋ζ函數(shù)的零點

  ζ函數(shù)的絕對值。

關(guān)于計算上找尋ζ函數(shù)零點越多越好的嘗試，已經(jīng)有一段很長的歷史了。其中一個出名的嘗試乃ZetaGrid，一個分散式計算的計劃，一天可檢查上十億個零點。這計劃在2005年11月終止。直至2006年，沒有計算計劃成功找到黎曼猜想的一個反例。

2004年，Xavier Gourdon與Patrick Demichel透過Odlyzko-Sch?nhage algorithm驗證了黎曼猜想的頭十兆個非平凡零點。

Michael Rubinstein給了公眾一個算法去算出零點。

參考文獻(xiàn)

歷史文獻(xiàn)

Bernhard Riemann, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr?sse, (1859) Monatsberichte der Berliner Akademie.

Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin Société Mathématique de France 14 (1896) pp 199-220.

現(xiàn)代技術(shù)參考

H. M. Edwards, Riemann"s Zeta Function, Academic Press, 1974. (Reprinted by Dover Publications, 2001 ISBN 0-486-41740-9)

E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta Function, second revised (Heath-Brown) edition, Oxford University Press, 1986

Jeffrey Lagarias, An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis, American Mathematical Monthly (2002), no. 109, 534--543（論及與和諧數(shù)的關(guān)聯(lián)）

Computation of zeros of the Zeta function (2004).（關(guān)于GUE猜想的評論，兼具豐富的書目資料。）

Schoenfeld, Lowell. "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II." Mathematics of Computation30 (1976), no. 134, 337--360.

Conrey, J. Brian. "the Riemann Hypothesis" Notices of the American Mathematical Society, March 2003, 341-353.可自由下載。

受歡迎的參考資料

Clay Mathematics Institute, Millennium Problems, (2000)

Marcus du Sautoy, The Music of the Primes, HarperCollins, 2003

Marcus du Sautoy, "Prime Numbers Get Hitched", Seed Magazine" (03/27/2006)

Daniel Rockmore, Stalking the Riemann Hypothesis : The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers, Pantheon Books, New York, 2005. ISBN 0-375-42136-X.

John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press (April 23, 2003), ISBN 0-309-08549-7. 448 page

Zetagrid (2002)試圖否證黎曼猜想的分散式計算計劃，已于2005年11月終止。

Ed Pegg, Jr., Ten Trillion Zeta Zeros, (2004)討論Xavier Gourdon對前十兆個非平凡零點的計算。

de Vries, The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s) (2004).

Erica Klarreich, "Prime Time", New Scientist - November 11, 2000, p. 32.對黎曼猜想的簡介。

QEDen A wiki dedicated to solving the millennium problems

引用來源

Bollobas, Bela, foreword to Littlewood"s Miscellany, Cambridge University Press, 1986

參見

埃拉托斯特尼篩法

素數(shù)

素數(shù)公式

素數(shù)判定法則

廣義黎曼猜想

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