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簡(jiǎn)介理想化的地球是一個(gè)流形。越近看就越近似于平面（“大三角形”是曲邊的，但右下角非常小的三角形就和平面上一樣了）。流形可以視為近看起來(lái)象歐幾里得空間或其他相對(duì)簡(jiǎn)單的空間的物體。例如，人們?cè)?jīng)以為地球是平的。這是因?yàn)橄鄬?duì)于地球來(lái)說(shuō)人類實(shí)在太小，平?？吹降牡孛媸堑厍虮砻嫖⑿〉囊徊糠帧Ｋ?，盡管知道地球?qū)嶋H上差不多是一個(gè)圓球，如果只需要考慮其中微小的一部分上發(fā)生的事情，比如測(cè)量操場(chǎng)跑道的長(zhǎng)度或進(jìn)行房地產(chǎn)交易時(shí)，仍然把地面看成一個(gè)平面。一個(gè)理想的數(shù)學(xué)上的球面在足夠小的區(qū)域上的特性就像一個(gè)平面，這表明它是一個(gè)流形。但是球面和平面的整體結(jié)構(gòu)是完全不同的：如果在球面上沿一個(gè)固定方向走，最終會(huì)回到起點(diǎn)，而在一個(gè)平面上，可以一直走下去?；氐降厍虻睦印Ｏ衤眯械臅r(shí)候，會(huì)用平面的地圖來(lái)指示方位。如果將整個(gè)地球的各個(gè)地區(qū)的地圖合訂成一本地圖集，那么在觀看各個(gè)地區(qū)的地圖后，就可以在腦海中“拼接”出整個(gè)地球的景貌。為

形式化定義下面假設(shè)所有流形為C類微分流形，r≥1，并且所有映射為C類可微。浸入子流形浸入子流形，開區(qū)間的區(qū)間終點(diǎn)映射為箭頭。流形M的浸入子流形是流形N，帶有給定浸入f:N→M（f:N→f(N)是一個(gè)光滑映射，且其雅可比矩陣處處滿秩）。因此，N在M中的像和N存在局域同胚。如果進(jìn)一步要求N的度量和從M拉回的度量相同，則稱等度浸入子流形。嵌入子流形嵌入子流形（也稱正則子流形）是浸入子流形，其浸入映射為同胚。子流形拓?fù)浜退南瘢餍蜯的子集S）的子集拓?fù)湎嗤Ｇ度胱恿餍我部梢詢?nèi)蘊(yùn)定義：令M為n-維流形，令k為整數(shù)，滿足0≤k≤n。k-維嵌入子流形是子空間S?M使得，對(duì)每個(gè)點(diǎn)p∈S，存在圖(U?M,φ:U→R)包含p滿足φ(S∩U)是一個(gè)k-維平面和φ(U)的交。二元組(S∩U,φ|S∩U)構(gòu)成S上微分結(jié)構(gòu)的圖冊(cè)。子流形在李群理論現(xiàn)頻繁，因?yàn)楹芏嗬钊嚎梢砸暈榉峭丝s矩陣乘法群的子流形兼子群。其他變種文...

線性辛流形有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)“局部”模型，也就是R，其中ωi,n+i=1;ωn+i,i=-1;ωj,k=0對(duì)于所有i=0,...,n-1;j,k=0,...,2n-1(k≠j+nandj≠k+n)。這是一個(gè)線性辛空間的例子。參看辛向量空間。一個(gè)稱為達(dá)布定理的命題表明局部來(lái)看每個(gè)辛流形都和這個(gè)簡(jiǎn)單的辛流形相似。體積形式從定義可以直接得到每個(gè)辛流形M都是偶數(shù)維2n;這是因?yàn)棣厥菬o(wú)處為0的形式，辛體積形式。由此可以得到，每個(gè)辛流形是有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的定向的，并且有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)度，劉維爾測(cè)度（經(jīng)常重整為ω/n!）。切觸流形和辛流形緊密相關(guān)的有一個(gè)奇數(shù)維流形，稱為切觸流形。每個(gè)2n+1-維切觸流形(M,α)給出一個(gè)2n+2-維辛流形(M×R,d(eα)).拉格朗日子流形辛流形的子流形有兩個(gè)自然的幾何概念，它們是辛子流形（可以是任何偶數(shù)維）和拉格朗日子流形（一半維度），其中辛流形要導(dǎo)出該子流形上的一個(gè)辛形式，而辛流...

參考Hempel,John,3-manifolds,Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,2004,ISBN0-8218-3695-1Jaco,WilliamH.,Lecturesonthree-manifoldtopology,Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,1980,ISBN0-8218-1693-4Rolfsen,Dale,KnotsandLinks,Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,1976,ISBN0-914098-16-0Thurston,WilliamP.,Three-dimensionalgeometryandtopology,Princeton,NJ:PrincetonUniversityPress,1997,ISBN0-69...

定義M上一個(gè)泊松結(jié)構(gòu)（Poissonstructure）是一個(gè)雙線性映射使得這個(gè)括號(hào)反對(duì)稱：服從雅可比恒等式：是C(M)關(guān)于第一個(gè)變量的導(dǎo)子：上一個(gè)性質(zhì)有多種等價(jià)的表述。取定一個(gè)光滑函數(shù)g∈C(M)，我們有映射f??-->{g,f}{\displaystylef\mapsto\{g,f\}}是C(M)上一個(gè)導(dǎo)子。這意味著存在哈密頓哈密頓向量場(chǎng)Xg使得對(duì)所有f∈C(M)。這說(shuō)明這個(gè)括號(hào)只取決于f的微分。從而，任何泊松結(jié)構(gòu)有一個(gè)相伴的從M的余切叢TM到切叢TM的映射將df映為Xf。泊松雙向量余切叢與切叢之間的映射意味著M上存在一個(gè)雙向量場(chǎng)η，泊松雙向量（Poissonbivector），一個(gè)反對(duì)稱2張量ηη-->∈∈-->??-->2TM{\displaystyle\eta\in\bigwedge^{2}TM}，使得這里??-->,??-->{\displaystyle\langle,\ran...