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有多少個(gè)量子數(shù)？

“要多少個(gè)量子數(shù)才能描述任何已知系統(tǒng)？”這道問(wèn)題并沒(méi)有一致的答案，盡管要解決每一個(gè)系統(tǒng)都必需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行全面分析。任何系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)都由一量子哈密頓算符，H，所描述。系統(tǒng)中有一量子數(shù)對(duì)應(yīng)能量，即哈密頓算符的特征值。對(duì)每一個(gè)算符O而言，還有一個(gè)量子數(shù)可與哈密頓算符交換（即滿(mǎn)足OH = HO這條關(guān)系式）。這些是一個(gè)系統(tǒng)中所能有的所有量子數(shù)。注意定義量子數(shù)的算符O應(yīng)互相獨(dú)立。很多時(shí)候，能有好幾種選擇一組互相獨(dú)立算符的方法。故此，在不同的條件下，可使用不同的量子數(shù)組來(lái)描述同一個(gè)系統(tǒng)。

原子內(nèi)的單個(gè)電子

最被廣為研究的量子數(shù)組是用于一原子的單個(gè)電子：不只是因?yàn)樗诨瘜W(xué)中有用（它是周期表、化合價(jià)及其他一系列特性的基本概念），還因?yàn)樗且粋€(gè)可解的真實(shí)問(wèn)題，故廣為教科書(shū)所采用。

在非相對(duì)論性量子力學(xué)中，這個(gè)系統(tǒng)的哈密頓算符由電子的動(dòng)能及勢(shì)能（由電子及原子核間的庫(kù)侖力所產(chǎn)生）。動(dòng)能可被分成，有環(huán)繞原子核的電子角動(dòng)量，J的一份，及余下的一份。由于勢(shì)能是球狀對(duì)稱(chēng)的關(guān)系，其完整的哈密頓算符能與J交換。而J本身能與角動(dòng)量的任一分量（按慣例使用Jz）交換。由于這是本題中唯一的一組可交換算符，所以會(huì)有三個(gè)量子數(shù)。

依慣例，它們被稱(chēng)為：

主量子數(shù)（n=1，2，3，4 …）代表除掉J以后H的特征值。這個(gè)數(shù)因此會(huì)視電子與原子核間的距離（即半徑坐標(biāo)r）而定。平均距離會(huì)隨著n增大，因此不同量子數(shù)的量子態(tài)會(huì)被說(shuō)成屬于不同的電子層。

角量子數(shù)（l=0，1 … n-1）（又稱(chēng)方位角量子數(shù)或軌道量子數(shù)）通過(guò)關(guān)系式L2=? ? -->2l(l+1){\displaystyle L^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)}來(lái)代表軌道角動(dòng)量。在化學(xué)中，這個(gè)量子數(shù)是非常重要的，因?yàn)樗砻髁艘卉壍赖男螤睿?duì)化學(xué)鍵及鍵角有重大形響。有些時(shí)候，不同角量子數(shù)的軌域有不同代號(hào)，l=0的軌域叫s軌域，l=1的叫p軌域，l=2的叫d軌域，而l=3的則叫f軌域。

磁量子數(shù)（ml= -l，-l+1 … 0 … l-1，l）代表特征值，Lz=ml? ? -->{\displaystyle L_{z}=m_{l}\hbar }。這是軌道角動(dòng)量沿某指定軸的投影。

從光譜學(xué)中所得的結(jié)果指出一個(gè)軌道最多可容納兩個(gè)電子。然而兩個(gè)電子絕不能擁有完全相同的量子態(tài)（泡利不相容原理），故也絕不能擁有同一組量子數(shù)。所以為此特別提出一個(gè)假設(shè)來(lái)解決這問(wèn)題，就是設(shè)存在一個(gè)有兩個(gè)可能值的第四個(gè)量子數(shù)。這假設(shè)以后能被相對(duì)論性量子力學(xué)所解釋。

自旋量子數(shù)（ms= -1/2 或 +1/2）代表電子的固有角動(dòng)量。這是自旋s=1/2沿某指定軸的射影。

作為摘要，一電子的量子態(tài)視下列各量子數(shù)而定：

例：用于描述氟（F）原子最外層電子（即價(jià)電子，位于原子軌道2p）的各量子數(shù)值為：n=2，l=1，ml=1或0或-1，ms=-1/2或1/2。

注意分子軌道需要使用完全不同的量子數(shù)組，因?yàn)槠涔茴D算符及對(duì)稱(chēng)跟上述相當(dāng)不同。

適用于自旋－軌道相互作用的量子數(shù)

當(dāng)考慮到自旋-軌道作用時(shí)，l、m及s就再不能與哈密頓算符交換，因而它們的值會(huì)隨時(shí)間改變。故應(yīng)該使用另一組量子數(shù)。這組包括了

總角動(dòng)量量子數(shù)（j=1/2，3/2 … n-1/2）通過(guò)關(guān)系式J2=? ? -->2j(j+1){\displaystyle J^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)}代表著總角動(dòng)量。

總角動(dòng)量沿某指定軸的投影（mj=-j，-j+1 … j-1，j），此數(shù)與m類(lèi)似，且滿(mǎn)足關(guān)系式mj=ml+ms{\displaystyle m_{j}=m_{l}+m_{s}}。

宇稱(chēng)。它是經(jīng)反射所得的特征值，當(dāng)態(tài)之l為偶數(shù)時(shí)其值為正（即+1），奇數(shù)時(shí)其值為負(fù)（即-1）。前者亦被稱(chēng)為偶宇稱(chēng)，后者則為奇宇稱(chēng)。

例：考慮以下八個(gè)態(tài)，定義它們的量子數(shù)：

（1） l = 1，ml = 1，ms = +1/2

（2） l = 1，ml = 1，ms = -1/2

（3） l = 1，ml = 0，ms = +1/2

（4） l = 1，ml = 0，ms = -1/2

（5） l = 1，ml = -1，ms = +1/2

（6） l = 1，ml = -1，ms = -1/2

（7） l = 0，ml = 0，ms = +1/2

（8） l = 0，ml = 0，ms = -1/2

系統(tǒng)的量子態(tài)能被這八個(gè)態(tài)的線性組合所描述。但由于自旋-軌道作用的關(guān)系，如欲使用八個(gè)由哈密頓算符的特征矢量（即每一個(gè)代表一個(gè)態(tài)且不會(huì)因時(shí)間而跟其他態(tài)混合）所組成的態(tài)來(lái)描述同一個(gè)系統(tǒng)，應(yīng)考慮以下這八個(gè)態(tài)：

（1） j = 3/2， mj = 3/2，奇宇稱(chēng) （從上態(tài)（1）得）

（2） j = 3/2， mj = 1/2，奇宇稱(chēng) （從上態(tài)（2）及（3）得）

（3） j = 3/2， mj = -1/2，奇宇稱(chēng) （從上態(tài)（4）及（5）得）

（4） j = 3/2， mj = -3/2，奇宇稱(chēng) （從上態(tài)（6）得）

（5） j = 1/2， mj = 1/2，奇宇稱(chēng) （從上態(tài)（2）及（3）得）

（6） j = 1/2， mj = -1/2，奇宇稱(chēng) （從上態(tài)（4）及（5）得）

（7） j = 1/2， mj = 1/2，偶宇稱(chēng) （從上態(tài)（7）得）

（8） j = 1/2， mj = -1/2，偶宇稱(chēng) （從上態(tài)（8）得）

基本粒子

基本粒子包含不少量子數(shù)，一般來(lái)說(shuō)它們都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是粒子物理學(xué)上標(biāo)準(zhǔn)模型的量子態(tài)，所以這些粒子量子數(shù)間的關(guān)系跟模型的哈密頓算符一樣，就像玻爾原子量子數(shù)及其哈密頓算符的關(guān)系那樣。亦即是說(shuō)，每一個(gè)量子數(shù)代表問(wèn)題的一個(gè)對(duì)稱(chēng)性。這在場(chǎng)論中有著更大的用處，被用于識(shí)別時(shí)空及內(nèi)對(duì)稱(chēng)。

一般跟時(shí)空對(duì)稱(chēng)有關(guān)系的量子數(shù)有自旋（跟旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)有關(guān)）、宇稱(chēng)、C-宇稱(chēng)、T-宇稱(chēng)（跟時(shí)空上的龐加萊對(duì)稱(chēng)有關(guān)系）。一般的內(nèi)對(duì)稱(chēng)有輕子數(shù)、重子數(shù)及電荷數(shù)。條目味有這些量子數(shù)的更詳細(xì)列表。

值得一提的是較次要但常被混淆的一點(diǎn)。大部分守恒量子數(shù)都是可相加的。故此，在一基本粒子反應(yīng)中，反應(yīng)前后的量子數(shù)總和應(yīng)相等。然而，某些量子數(shù)（一般被稱(chēng)為宇稱(chēng)）是可相乘的；即它們的積是守恒的。所以可相乘的量子數(shù)都屬于一種對(duì)稱(chēng)（像守恒那樣），而在這種對(duì)稱(chēng)中使用兩次對(duì)稱(chēng)變換式跟沒(méi)用過(guò)是一樣的。它們都屬于一個(gè)叫Z2的抽象群。

參考文獻(xiàn)暨外部鏈接

基本原理

Dirac, Paul A.M.Principles of quantum mechanics. Oxford University Press. 1982. ISBN 0-19-852011-5. 

原子物理

量子數(shù)與電子排布（英文）

氫原子的量子數(shù)（英文）

粒子物理

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X. 

Halzen, Francis and Martin, Alan D. QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2. 

粒子數(shù)據(jù)小組（英文）

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