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例子

舉例明之，考慮下述方陣：

其特征多項(xiàng)式為

此時(shí)可以直接驗(yàn)證凱萊-哈密頓定理：

此式可以簡(jiǎn)化高次冪的運(yùn)算，關(guān)鍵在于下述關(guān)系：

例如，為了計(jì)算 A4{\displaystyle A^{4}}，可以反復(fù)利用上述關(guān)系式：

或是，如果要計(jì)算 An{\displaystyle A^{n}}，也可以假設(shè)：

An=aA+bI{\displaystyle A^{n}=aA+bI}

然后，依照前面的特征多項(xiàng)式 λ λ -->2? ? -->5λ λ -->? ? -->2{\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda -2} 之兩解 λ λ -->1,λ λ -->2{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}，代入后可以得到

λ λ -->1n=aλ λ -->1+b{\displaystyle \lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b}

λ λ -->2n=aλ λ -->2+b{\displaystyle \lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b}

然后解方程后求出a,b{\displaystyle a,b}，便可得 An{\displaystyle A^{n}}.

此外，凱萊-哈密頓定理也是計(jì)算特征向量的重要工具。

注：一般而言，若 n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩陣 A{\displaystyle A} 可逆（即：det(A)≠ ≠ -->0{\displaystyle \det(A)\neq 0}），則 A? ? -->1{\displaystyle A^{-1}} 可以寫成 A{\displaystyle A} 的冪次和：特征多項(xiàng)式有如下形式

將方程式 p(A)=0{\displaystyle p(A)=0} 同乘以 A? ? -->1{\displaystyle A^{-1}}，便得到

定理證明

以下考慮布于域 k=R,C{\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } 上的矩陣。

凱萊-哈密頓定理可以視為線性代數(shù)中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若 S{\displaystyle S} 是 n× × -->n{\displaystyle n\times n} 矩陣，而 adj(S){\displaystyle \mathrm {adj} (S)} 表其伴隨矩陣，則

取 S=tIn? ? -->A{\displaystyle S=tI_{n}-A}，便得到 (tIn? ? -->A)adj(tIn? ? -->A)=pA(t)In{\displaystyle (tI_{n}-A)\mathrm {adj} (tI_{n}-A)=p_{A}(t)I_{n}}。此式對(duì)所有 t{\displaystyle 實(shí)數(shù) 皆成立，由于實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域有無窮多元素，上式等式在多項(xiàng)式環(huán)k[t]{\displaystyle k[t]} 內(nèi)成立。

設(shè) M:=kn{\displaystyle M:=k^{n}}，矩陣 A{\displaystyle A} 賦予 M{\displaystyle M} 一個(gè) k[t]{\displaystyle k[t]}-模結(jié)構(gòu)：f(t)? ? -->m=f(A)m{\displaystyle f(t)\cdot m=f(A)m}?？紤] k[t]{\displaystyle k[t]}-模 M[t]:=M? ? -->kk[t]{\displaystyle M[t]:=M\otimes _{k}k[t]}，我們有 k[t]{\displaystyle k[t]}-模之間的“求值態(tài)射”：

固定 m∈ ∈ -->M{\displaystyle m\in M}，對(duì) M[t]{\displaystyle M[t]} 中的等式

右側(cè)取 eA{\displaystyle e_{A}} 后得到 pA(A)m{\displaystyle p_{A}(A)m}，左側(cè)取 eA{\displaystyle e_{A}} 后得到 (A? ? -->A)? ? -->(? ? -->)=0{\displaystyle (A-A)\cdot (\cdots )=0}。明所欲證。

一個(gè)簡(jiǎn)單的證明： 令：

由:

得：

因兩多項(xiàng)式，他們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得：

在等式兩邊t的i次項(xiàng)系數(shù)分別乘以A, 并將等式左右兩邊分別相加并合項(xiàng)得：

得證

抽象化與推廣

前述證明用到系數(shù)在 k[t]{\displaystyle k[t]} 的矩陣的克萊姆法則，事實(shí)上該法則可施于任何系數(shù)在交換環(huán)上的矩陣。借此，凱萊-哈密頓定理可以推廣到一個(gè)交換環(huán) R{\displaystyle R} 上的任何有限生成自由模 M{\displaystyle M}（向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個(gè)技巧。

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