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歷史

Burnside 將其歸功于Jordan ，但是 Eric Nummela 爭論說這個(gè)定理的名字“凱萊定理”事實(shí)上是合適的。凱萊在他最初介紹群概念的1854年論文 中證明了定理中的對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)，但是沒能明確的證明它是同態(tài)(因此是同構(gòu))。但是，Nummela提示大家注意凱萊讓當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界知道了這個(gè)結(jié)果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的證明

從初等群論中，知道了對(duì)于任何 G 中元素 g 必然有 g * G = G ；并通過消除規(guī)則知道了 g * x = g * y 當(dāng)且僅當(dāng) x = y 。所以左乘 g 充當(dāng)了雙射函數(shù) f g : G → G ，通過定義 f g ( x ) = g * x 。所以， f g 是 G 的置換，并因此是Sym( G )的成員。

Sym( G )的子集 K 定義為

是同構(gòu)于 G 的Sym( G )的子群。得出這個(gè)結(jié)果的最快方式是考慮函數(shù) T : G → Sym( G )對(duì)于所有 G 中的 g 有著 T ( g ) = f g 。(對(duì)Sym( G )中的復(fù)合使用"·")， T 是群同態(tài)因?yàn)椋?

同態(tài) T 也是單射因?yàn)椋?T ( g ) = id G （Sym( G )的單位元）蘊(yùn)含了對(duì)于所有 G 中的 x 有 g*x = x ，選取 x 為 G 的單位元 e 產(chǎn)生 g = g * e = e ?？商娲模?T ( g )也是單射因?yàn)椋?g * x = g * x" 蘊(yùn)含 x = x" （通過左乘上 g 的逆元，因?yàn)?G 是群所以一定存在）。

因此 G 同構(gòu)于 T 的像，它是子群 K 。

T 有時(shí)叫做 G 的正規(guī)表示。

另一個(gè)的證明

另一個(gè)證明使用了群作用的語言?？紤]群 G {\displaystyle G} 為G-集合，可以證明它有置換表示 ? ? --> {\displaystyle \phi } 。

首先假設(shè) G = G / H {\displaystyle G=G/H} 帶有 H = { e } {\displaystyle H=\{e\}} 。則根據(jù)G-軌道分類這個(gè)群作用是 g . e {\displaystyle g.e} （也叫做軌道-穩(wěn)定集定理）。

現(xiàn)在這個(gè)表示是忠實(shí)的，如果 ? ? --> {\displaystyle \phi } 是單射，就是說，如果 ? ? --> {\displaystyle \phi } 的核是平凡的。假設(shè) g {\displaystyle g} ∈ ker ? ? --> {\displaystyle \phi } ，則 g = g . e = ? ? --> ( g ) . e {\displaystyle g=g.e=\phi (g).e} ，通過置換表示和群作用的等價(jià)性。但是因?yàn)?g {\displaystyle g} ∈ ker ? ? --> {\displaystyle \phi } , ? ? --> ( g ) = e {\displaystyle \phi (g)=e} 并因此ker ? ? --> {\displaystyle \phi } 是平凡的。則im ? ? --> < G {\displaystyle \phi 并因此利用第一同構(gòu)定理得出結(jié)論。

對(duì)正規(guī)群表示的注記

單位元對(duì)應(yīng)于恒等置換。所有其他的群元素對(duì)應(yīng)于不留下任何元素不變的置換。會(huì)因?yàn)檫@也適用于群元素的冪，小于這個(gè)元素的階，每個(gè)元素對(duì)應(yīng)于由相同長度的環(huán)構(gòu)成的置換：這個(gè)長度是這個(gè)元素的階。在每個(gè)環(huán)中的元素形成了這個(gè)元素生成的子群的左陪集。

正規(guī)群表示的例子

Z 2 = {0,1}帶有模2加法，群元素0對(duì)應(yīng)于恒等置換e，群元素1對(duì)應(yīng)于置換 (12)。

Z 3 = {0,1,2}帶有模3加法；群元素0對(duì)應(yīng)于恒等置換e，群元素1對(duì)應(yīng)于置換 (123)，而群元素2對(duì)應(yīng)于置換 (132)。比如1 + 1 = 2對(duì)應(yīng)于 (123)(123)=(132)。

Z 4 = {0,1,2,3}帶有模4加法；它的元素對(duì)應(yīng)于e, (1234), (13)(24), (1432)。

克萊因四元群{e, a, b, c}的元素對(duì)應(yīng)于e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S 3 （6階二面體群）是三個(gè)對(duì)象的所有置換的群，但也是6個(gè)群元素的置換群：

參見

米田引理

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