亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

定義

假設(shè)G{\displaystyle G}，是群而S{\displaystyle S}，是生成集。凱萊圖Γ Γ -->=Γ Γ -->(G,S){\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}，是如下構(gòu)造的著色的有向圖。

G{\displaystyle G}，每個元素g{\displaystyle g}，指派一個頂點：Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }，的頂點集合V(Γ Γ -->){\displaystyle V(\Gamma )}，同一于G{\displaystyle G}，。

S{\displaystyle S}，的每個生成元s{\displaystyle s}，指派一種顏色cs{\displaystyle c_{s}}，。

對于任何g∈ ∈ -->G,s∈ ∈ -->S{\displaystyle g\in G,s\in S}，對應(yīng)于元素g{\displaystyle g}，和gs{\displaystyle gs}，的頂點用顏色cs{\displaystyle c_{s}}，的有向邊連接。因此邊集合E(Γ Γ -->){\displaystyle E(\Gamma )}，由形如(g,gs){\displaystyle (g,gs)}，的有序?qū)?gòu)成，帶著s∈ ∈ -->S{\displaystyle s\in S}提供的顏色。

在幾何群論中，集合S{\displaystyle S}，通常被假定為有限的、“對稱的”也就是S=S? ? -->1{\displaystyle S=S^{-1}}，并且不包含這個群的單位元。在這種情況下，凱萊圖是正常的圖：它的邊沒有方向并且不包含環(huán)路。

例子

假設(shè)G = Z是無限循環(huán)群而集合S有標(biāo)準(zhǔn)生成元1和它的逆元（用加法符號為?1）構(gòu)成，則它的凱萊圖是無窮鏈。

類似的，如果G = Zn是n階循環(huán)群而S由兩個元素構(gòu)成，G的標(biāo)準(zhǔn)生成元和它的逆元，則凱萊圖是環(huán)圖Cn。

群的直積的凱萊圖是對應(yīng)的凱萊圖的笛卡爾積。因此帶有四個元素（±1, ±1）組成的生成集的阿貝爾群Z的凱萊圖是在平面R上無窮網(wǎng)格，而帶有類似的生成集的直積Zn×Zm的凱萊圖是在環(huán)面上n乘m有限網(wǎng)格。

二面體群D4在兩個生成元a和b上的凱萊圖。

二面體群D4在兩個生成元a和b上的凱萊圖列于右側(cè)。紅色箭頭表示左乘元素a。因此元素b是自我逆轉(zhuǎn)的，表示左乘元素b藍色線是無方向的。因此這個圖是混合的：它有8個頂點，8個有向邊，4個邊。群D4的凱萊表可以從群展示得出：

在對應(yīng)于集合S = {a, b, a, b}的兩個生成元a, b上的自由群的凱萊圖列出在文章開頭，這里的e表示單位元。沿著邊向右走表示右乘a，而沿著變向上走表示乘以b。因為自由群沒有關(guān)系，它的凱萊圖中沒有環(huán)。這個凱萊圖是證明巴拿赫-塔斯基悖論的關(guān)鍵因素。

特征

群G{\displaystyle G}通過左乘作用在自身上（參見凱萊定理）。這個作用可以看作G{\displaystyle G}作用在它的凱萊圖上。明顯的，一個元素h∈ ∈ -->G{\displaystyle h\in G}映射一個頂點g∈ ∈ -->V(Γ Γ -->){\displaystyle g\in V(\Gamma )}到頂點hg∈ ∈ -->V(Γ Γ -->){\displaystyle hg\in V(\Gamma )}。凱萊圖的邊集合被這個作用所保存：邊(g,gs){\displaystyle (g,gs)}變換成邊(hg,hgs){\displaystyle (hg,hgs)}。任何群在自身上的左乘作用是簡單傳遞的，特別是凱萊圖是頂點傳遞的。這導(dǎo)致了凱萊圖的下列特征：

要從一個凱萊圖Γ Γ -->=Γ Γ -->(G,S){\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}恢復(fù)群G{\displaystyle G}和生成集S{\displaystyle S}，選擇一個頂點v1∈ ∈ -->V(Γ Γ -->){\displaystyle v_{1}\in V(\Gamma )}并標(biāo)記上這個群的單位元。接著對每個Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }的頂點v{\displaystyle v}標(biāo)記上變換v1{\displaystyle v_{1}}到v{\displaystyle v}的G{\displaystyle G}的唯一元素。產(chǎn)生Γ Γ -->{\displaystyle \Gamma }為凱萊圖的G{\displaystyle G}的生成元的集合S{\displaystyle S}是毗連到選擇的頂點的頂點的標(biāo)記的集合。生成集合是有限（這是凱萊圖的共同假定）當(dāng)且僅當(dāng)這個圖是局部有限的（就是說每個頂點毗連與有限多個邊）。

基本性質(zhì)

如果生成集合的成員s{\displaystyle s}是自身的逆元，即s=s? ? -->1{\displaystyle s=s^{-1}}，則它一般被表示為無向邊。

凱萊圖Γ Γ -->(G,S){\displaystyle \Gamma (G,S)}本質(zhì)上依賴于生成元的集合S{\displaystyle S}的選擇方式。例如，如果生成集合S{\displaystyle S}有k{\displaystyle k}個元素，則凱萊圖的每個頂點都有k{\displaystyle k}個進入和k{\displaystyle k}個外出的有向邊。在有r{\displaystyle r}個元素的對稱生成集合S{\displaystyle S}的情況下，凱萊圖是r{\displaystyle r}度的正則圖。

在凱萊圖中的環(huán)（“閉合路徑”）指示在S{\displaystyle S}的兩個元素之間的關(guān)系。在群的凱萊復(fù)形的更精細構(gòu)造中，對應(yīng)于關(guān)系的閉合路徑被用多邊形“填充”。

如果f:G′→ → -->G{\displaystyle f:G"\to G}是滿射群同態(tài)并且G′{\displaystyle G"}的生成集合S′{\displaystyle S"}的元素的像是不同的，則它引發(fā)一個圖的覆蓋

圖Γ Γ -->(G,S){\displaystyle \Gamma (G,S)}可以被構(gòu)造即使集合S{\displaystyle S}不生成群G{\displaystyle G}。但是，它是連通的并不被認為是凱萊圖。在這種情況下，這個圖的每個連通部件表示一個S{\displaystyle S}生成子群的陪集。

對于被認為是無向的凱萊圖，頂點連通性等于這個圖的度。

Schreier陪集圖

如果轉(zhuǎn)而把頂點作為固定子群H{\displaystyle H}的右陪集，就得到了一個有關(guān)的構(gòu)造Schreier陪集圖，它是陪集枚舉或Todd-Coxeter算法的基礎(chǔ)。

與群論的關(guān)系

研究圖的鄰接矩陣特別是應(yīng)用譜圖理論的定理能洞察群的結(jié)構(gòu)。

參見

群的生成集合

群的展示

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。