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歷史

凱萊表是在凱萊 1854 年的論文《On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ = 1》中首次提出的。在這個(gè)論文中，它們被簡(jiǎn)單的稱為表格并只被用做展示，后來為了紀(jì)念其創(chuàng)造者而叫做了凱萊表。

結(jié)構(gòu)和格局

因?yàn)楹芏鄤P萊表描述不是阿貝爾群的群，對(duì)于所有這個(gè)群中的 a 和 b，關(guān)于群的二元運(yùn)算的乘積 ab 不保證等于 ba 的乘積。為了避免混淆，約定了在表格的每一行中所有格內(nèi)的第一個(gè)因子(凱萊的術(shù)語(yǔ)為“近因子”)都是相同的，而在每一列中所有格內(nèi)的第二個(gè)因子(“遠(yuǎn)因子”)是相同的，比如下面的例子:

凱萊最初設(shè)置的表格把單位元放在首位，排除了上表中對(duì)對(duì)單獨(dú)的行與列表頭的需要。例如，它們不出現(xiàn)在下列表格中:

在這個(gè)循環(huán)群Z3 的例子中，a 是單位元，因此出現(xiàn)表格的左上角。容易看出 b = c 和 cb = a。盡管如此，多數(shù)現(xiàn)代課本和本文都為了明確性而包含了行與列的表頭。

性質(zhì)和用途

交換律

凱萊表告訴我們一個(gè)群是否為阿貝爾群。因?yàn)榘⒇悹柸旱娜哼\(yùn)算是符合交換律的，阿貝爾群的凱萊表是沿著對(duì)角線對(duì)稱的。上述的 3 階的循環(huán)群和 {1, -1} 在普通乘法下的群都是阿貝爾群，可以通過檢查其凱萊表的對(duì)稱性來驗(yàn)證。作為對(duì)照，最小的非阿貝爾群 6階二面體群沒有對(duì)稱的凱萊表。

結(jié)合律

因?yàn)榻Y(jié)合律被作為了群的公理，在處理群的凱萊表的時(shí)候它總是可以保證。但是凱萊表還可以用來刻畫擬群的運(yùn)算，它不把結(jié)合律假定為公理(實(shí)際上，凱萊表可以用來刻畫任何有限原群的運(yùn)算)。不幸的是，一般不可能象交換律那樣通過簡(jiǎn)單查看凱萊表來確定一個(gè)運(yùn)算是否符合結(jié)合律。這是因?yàn)榻Y(jié)合律依賴于 3 項(xiàng)等式 ( a b ) c = a ( b c ) {\displaystyle (ab)c=a(bc)} ，而凱萊表展示的是兩項(xiàng)乘積。

置換

因?yàn)橄再|(zhì)對(duì)于群(甚至于擬群)是成立的，凱萊表的行與列中，任何元素都只能出現(xiàn)一次。所以表的每行與列都是這個(gè)群內(nèi)的所有元素的置換。這極大的限定了那種凱萊表可以令人信服的定義有效的群運(yùn)算。

要看出為什么行或列不能包含相同的元素兩次，設(shè) a, x 和 y 都是群的元素，而 x 和 y 是不同的。接著有一行表示元素 a，對(duì)應(yīng)于 x 的列包含乘積 ax，類似的對(duì)應(yīng)于 y 的列包含乘積 ay。如果這兩個(gè)乘積相等，就是說我們假設(shè)的行 a 包含相同的元素兩次，則 ax 將等于 ay。但是因?yàn)橄沙闪?，我們可以得出結(jié)論出如果 ax = ay，則 x = y。導(dǎo)致了矛盾。所以我們的假設(shè)不正確，行不能包含相同的元素。完全同樣的證明足以證明列的情況，所以我們推出結(jié)論每行與列都不包含一個(gè)元素多于一次。因?yàn)槿菏怯邢薜模澔\原理保證群的每個(gè)元素在每行與列中精確的出現(xiàn)一次。因此，凱萊表是拉丁方陣的例子。

構(gòu)造凱萊表

由于群的結(jié)構(gòu)，你可能要經(jīng)常填充缺少元素的凱萊表，甚至對(duì)所考慮的群運(yùn)算都沒有完整的刻畫。例如，由于每行與列必須包含這個(gè)群中的所有元素，如果所有元素都要放入其中一次，而只有一個(gè)空位，在不知道關(guān)于群的任何其他事情的時(shí)候，未被放置的那個(gè)元素必定占據(jù)這個(gè)空位。關(guān)于群的這個(gè)和其他觀察一般允許我你們對(duì)所考慮的群知之甚少就能構(gòu)造出這些群的凱萊表。

有限群的“單位元構(gòu)架”

因?yàn)樵谌魏稳褐?，即使在非阿貝爾群中，所有元素都是與它自己的逆元可交換的，這可以得出單位元在凱萊表中針對(duì)表的對(duì)角線對(duì)稱分布。正好處在對(duì)角線上的單位元表示對(duì)應(yīng)的元素是自身的逆元。

由于凱萊表的行與列的次序?qū)嶋H上是任意的，如下排序方式是很方便的: 開始于群的單位元，它總是自身的逆元，首先列出是自身的逆元的所有元素，隨后相互毗連的列出互逆元素對(duì)。

接著對(duì)于特定次序下的有限群，很容易刻畫出它的“單位元架構(gòu)”，這么命名是因?yàn)閱挝辉趧P萊表中沿主對(duì)角線聚集，要么直接在其上，要么錯(cuò)開一個(gè)位置。

證明有不同的單位元構(gòu)架的群不能同構(gòu)是相對(duì)平凡的，但逆命題不成立(比如，循環(huán)群C8 和四元群Q 不同構(gòu)但有相同的單位元構(gòu)架)。

考慮帶有元素 e, a, b, c, d 和 f 的 6 元素的群。按慣例，e 是群的單位元。因?yàn)閱挝辉偸亲陨淼哪嬖?，而逆元是唯一的，群中?6 個(gè)元素的事實(shí)意味著至少有一個(gè)非 e 元素必須是自身的逆元。所以有下列可能的構(gòu)架:

所有元素都是自身的逆元，

a, b 和 c 是自身的逆元，d 與 f 互逆。

a 是自身的逆元，b 與 c 互逆，d 與 f 互逆。

在我們的特定例子中，不存在第一種類型的 6 階群，實(shí)際上，簡(jiǎn)單的因?yàn)樘囟ǖ膯挝辉獦?gòu)架可以被構(gòu)想出來，但不一般性的意味著存在對(duì)應(yīng)的群。值得注意(可平凡證明)所有元素都是自身逆元的任何群都是阿貝爾群。

填充單位元構(gòu)架

一旦特定的單位元構(gòu)架確定，就有可能開始填充出凱萊表。例如，選取上述第二種類型的 6 階群的單位元構(gòu)架:

明顯的，e 行與 e 列可以立即填充。完成后，可能需要(在這里是必須的)做一個(gè)假定，它可能在后來導(dǎo)致一個(gè)矛盾，簡(jiǎn)單的意味著最初的假定是錯(cuò)的。我們假定 ab = c。那么:

左乘 a 于 ab = c 得到 b = ac。再右乘 c 得到 bc = a。右乘 b 于 ab = c 得到 a = cb。左乘 b 于 bc = a 得到 c = ba，再右乘 a 得到 ca = b。在填充這些乘積入表格之后，我們發(fā)現(xiàn) ad 和 af 在 a 行中仍未觸及；因?yàn)槲覀冎廊旱拿總€(gè)元素必須在每行中精確的出現(xiàn)一次，只有 d 和 f 還未處理，我們知道 ad 必須等于 d 或 f；但是它不能等于 d，因?yàn)槿绻@樣將蘊(yùn)含 a 等于 e，而它們是不同的。因此我們有了 ad = f 和 af = d。

進(jìn)一步的，因?yàn)?d 的逆元是 f，右乘 f 于 ad = f 得出 a = f。再左乘 d 得出 da = f。再右乘 a 得出 d = fa。

填充入所有這些乘積，凱萊表變?yōu)?

由于每行都必須出現(xiàn)群的所有元素精確的一次，容易看出在 b 行的兩個(gè)空位必須被 d 或 f 占據(jù)。但是，如果你檢查包含這兩個(gè)空位的列，也就是 d 和 f 列，就會(huì)法相 d 和 f 已經(jīng)在二者中被填充過了，這意味著無論如何 d 和 f 都不能放入行 b 中，它們總是違反置換規(guī)則。由于我們的代數(shù)演繹直到此時(shí)都是可靠的，我們只能得出早先基礎(chǔ)假定 ab = c 事實(shí)上是錯(cuò)誤的的結(jié)論。本質(zhì)上，我們猜測(cè)并猜測(cè)錯(cuò)了。但我們知道了: ab ≠ c。

唯一剩下的兩種可能性是 ab = d 或 ab = f；我們期望這兩個(gè)猜測(cè)有相同結(jié)果，即不別同構(gòu)之異時(shí)，因?yàn)?d 和 f 是互逆的，表示它們的字母固然的可以互換。所以不失去一般性的假定 ab = d。如果我們?cè)俅螌?dǎo)致一個(gè)矛盾，那么我們就要假定沒有 6 階群有這種單位元構(gòu)架了，因?yàn)槲覀兏F盡了所有可能性。

下面是它的凱萊表:

左乘 a 于 ab = d 得到 b = ad。右乘 f 得 bf = a，左乘 b 得到 f = ba。右乘 a 得到 fa = b，左乘 d 得到 a = db。把這些乘積填入凱萊表中(新增加的為紅色):

因?yàn)?a 行缺少 c 和 f 并且因?yàn)?af 不能等于 f(否則 a 就會(huì)等于 e，而它們是不同的)，我們可以得出 af = c。左乘 a 得出 f = ac，右乘 c 得出 fc = a。左乘 d 得出 c = da，右乘 a 得出 ca = d。類似的，右乘 d 于 af = c 得到 a = cd。更新表格，新加入的使用藍(lán)色:

因?yàn)?b 行缺少 c 和 d，并且因?yàn)?bc 不能等于 c，得出 bc = d，因此 bd 必須等于 c。右乘 f 得出 b = cf，左乘 c 得到 cb = f。通過類似的方式還可得出 c = fb 和 dc = b。填充入表格(最新增的使用綠色):

因?yàn)?d 行只缺少 f，我們得知 d = f，因此 f = d。我們已經(jīng)設(shè)法填充了整個(gè)表格而沒有得到任何矛盾，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個(gè) 6 階群: 檢查顯示它是非阿貝爾群。這個(gè)群事實(shí)上是最小的非阿貝爾群，二面體群D3:

推廣

上述性質(zhì)依賴于某些群公理的有效性。自然會(huì)考慮其他代數(shù)結(jié)構(gòu)比如半群、擬群和原群的凱萊表，而上述某些性質(zhì)就不成立了。

引用

Cayley, Arthur. On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ = 1, Philosophical Magazine, Vol. 7, pp. 40-47.Available on-line at Google Books as part of his collected works.

Cayley, Arthur. On the Theory of Groups, American Journal of Mathematics, Vol. 11, No. 2 (Jan 1889), pp. 139-157.Available at JSTOR.

參見

拉丁方陣

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