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物不知數(shù)

一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期（公元5世紀）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：

即，一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個整數(shù)?！秾O子算經(jīng)》中首次提到了同余方程組問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數(shù)學(xué)文獻中也會將中國剩余定理稱為孫子定理。

宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶于1247年《數(shù)書九章》卷一、二《大衍類》對“物不知數(shù)”問題做出了完整系統(tǒng)的解答。明朝數(shù)學(xué)家程大位將解法編成易于上口的《孫子歌訣》：

這個歌訣給出了模數(shù)為3、5、7時候的同余方程的秦九韶解法。意思是：將除以3得到的余數(shù)乘以70，將除以5得到的余數(shù)乘以21，將除以7得到的余數(shù)乘以15，全部加起來后減去105或者105的整數(shù)倍，得到的余數(shù)就是答案。比如說在以上的物不知數(shù)問題里面，使用以上的方法計算就得到

因此按歌訣求出的結(jié)果就是23.

形式描述

用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言來說明的話，中國剩余定理給出了以下的一元線性同余方程組：

有解的判定條件，并用構(gòu)造法給出了在有解情況下解的具體形式。

中國剩余定理說明：假設(shè)整數(shù)m1, m2, ... , mn其中任兩數(shù)互質(zhì)，則對任意的整數(shù)：a1, a2, ... , an，方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 有解，并且通解可以用如下方式構(gòu)造得到：

設(shè) M = m 1 × × --> m 2 × × --> ? ? --> × × --> m n = ∏ ∏ --> i = 1 n m i {\displaystyle M=m_{1}\times m_{2}\times \cdots \times m_{n}=\prod _{i=1}^{n}m_{i}} 是整數(shù)m1, m2, ... , mn的乘積，并設(shè) M i = M / m i , ? ? --> i ∈ ∈ --> { 1 , 2 , ? ? --> , n } {\displaystyle M_{i}=M/m_{i},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots ,n\}} ，即 M i {\displaystyle M_{i}} 是除了mi以外的n ? 1個整數(shù)的乘積。

設(shè) t i = M i ? ? --> 1 {\displaystyle t_{i}=M_{i}^{-1}} 為 M i {\displaystyle M_{i}} 模 m i {\displaystyle m_{i}} 的數(shù)論倒數(shù)： t i M i ≡ ≡ --> 1 ( mod m i ) , ? ? --> i ∈ ∈ --> { 1 , 2 , ? ? --> , n } . {\displaystyle t_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}},\;\;\forall i\in \{1,2,\cdots ,n\}.}

方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 的通解形式為： x = a 1 t 1 M 1 + a 2 t 2 M 2 + ? ? --> + a n t n M n + k M = k M + ∑ ∑ --> i = 1 n a i t i M i , k ∈ ∈ --> Z . {\displaystyle x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}+kM=kM+\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i},\quad k\in \mathbb {Z} .} 在模 M {\displaystyle M} 的意義下，方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 只有一個解： x = ∑ ∑ --> i = 1 n a i t i M i . {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}t_{i}M_{i}.}

證明

從假設(shè)可知，對任何 i ∈ ∈ --> { 1 , 2 , ? ? --> , n } {\displaystyle i\in \{1,2,\cdots ,n\}} ，由于 ? ? --> j ∈ ∈ --> { 1 , 2 , ? ? --> , n } , j ≠ ≠ --> i , gcd ? ? --> ( m i , m j ) = 1 {\displaystyle \forall j\in \{1,2,\cdots ,n\},\;j\neq i,\;\;\operatorname {gcd} (m_{i},m_{j})=1} ，所以 gcd ? ? --> ( m i , M i ) = 1. {\displaystyle \operatorname {gcd} (m_{i},M_{i})=1.} 這說明存在整數(shù) t i {\displaystyle t_{i}} 使得 t i M i ≡ ≡ --> 1 ( mod m i ) . {\displaystyle t_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}}.} 這樣的 t i {\displaystyle t_{i}} 叫做 M i {\displaystyle M_{i}} 模 m i {\displaystyle m_{i}} 的數(shù)論倒數(shù)。考察乘積 a i t i M i {\displaystyle a_{i}t_{i}M_{i}} 可知：

所以 x = a 1 t 1 M 1 + a 2 t 2 M 2 + ? ? --> + a n t n M n {\displaystyle x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}} 滿足：

這說明 x {\displaystyle x} 就是方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 的一個解。

另外，假設(shè) x 1 {\displaystyle x_{1}} 和 x 2 {\displaystyle x_{2}} 都是方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 的解，那么：

而 m 1 , m 2 , … … --> , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}} 兩兩互質(zhì)，這說明 M = ∏ ∏ --> i = 1 n m i {\displaystyle M=\prod _{i=1}^{n}m_{i}} 整除 x 1 ? ? --> x 2 {\displaystyle x_{1}-x_{2}} . 所以方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 的任何兩個解之間必然相差 M {\displaystyle M} 的整數(shù)倍。而另一方面， x = a 1 t 1 M 1 + a 2 t 2 M 2 + ? ? --> + a n t n M n {\displaystyle x=a_{1}t_{1}M_{1}+a_{2}t_{2}M_{2}+\cdots +a_{n}t_{n}M_{n}} 是一個解，同時所有形式為：

的整數(shù)也是方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 的解。所以方程組 ( S ) {\displaystyle (S)} 所有的解的集合就是：

例子

使用中國剩余定理來求解上面的“物不知數(shù)”問題，便可以理解《孫子歌訣》中的數(shù)字含義。這里的線性同余方程組是：

三個模數(shù)m1 = {\displaystyle =} 3, m2 = {\displaystyle =} 5, m3 = {\displaystyle =} 7的乘積是M = {\displaystyle =} 105，對應(yīng)的M1 = {\displaystyle =} 35, M2 = {\displaystyle =} 21, M3 = {\displaystyle =} 15. 而可以計算出相應(yīng)的數(shù)論倒數(shù)：t1 = {\displaystyle =} 2, t2 = {\displaystyle =} 1, t3 = {\displaystyle =} 1. 所以《孫子歌訣》中的70，21和15其實是這個“物不知數(shù)”問題的基礎(chǔ)解：

而將原方程組中的余數(shù)相應(yīng)地乘到這三個基礎(chǔ)解上，再加起來，其和就是原方程組的解：

這個和是233，實際上原方程組的通解公式為：

《孫子算經(jīng)》中實際上給出了最小正整數(shù)解，也就是k = {\displaystyle =} -2時的解：x = {\displaystyle =} 23.

交換環(huán)上的推廣

主理想整環(huán)

設(shè)R是一個主理想整環(huán)，m1, m2, ... , mk是其中的k個元素，并且兩兩互質(zhì)。令M = {\displaystyle =} m1m2...mn為這些元素的乘積，那么可以定義一個從商環(huán)R/MR映射到環(huán)乘積R/m1R × … ×?R/mkR的同態(tài)：

并且 ? ? --> {\displaystyle \phi } 是一個環(huán)同構(gòu)。因此 ? ? --> {\displaystyle \phi } 的逆映射也存在。而這個逆映射的構(gòu)造方式就如同中國剩余定理構(gòu)造一元線性同余方程組的解一樣。由于mi和Mi = {\displaystyle =} M/mi互質(zhì)，所以存在si和ti使得

而映射

就是 ? ? --> {\displaystyle \phi } 的逆映射。

Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 也是一個主理想整環(huán)。將以上的R換成 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ，就能得到中國剩余定理。因為

一般的交換環(huán)

設(shè)R是一個有單位元的交換環(huán)，I1, I2, ... , Ik是為環(huán) R {\displaystyle \mathbf {R} } 的理想，并且當(dāng) i ≠ ≠ --> j {\displaystyle i\neq j} 時， I i + I j = R {\displaystyle I_{i}+I_{j}=\mathbf {R} } ，則有典同構(gòu)環(huán)同構(gòu)：

模不兩兩互質(zhì)的同余式組

模不兩兩互質(zhì)的同余式組可化為模兩兩互質(zhì)的同余式組，再用孫子定理直接求解。

84=2×3×7,160=2×5,63=3×7，由推廣的孫子定理可得 { x ≡ ≡ --> 23 ( mod 84 ) x ≡ ≡ --> 7 ( mod 160 ) x ≡ ≡ --> 2 ( mod 63 ) {\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 23{\pmod {84}}\\x\equiv 7{\pmod {160}}\\x\equiv 2{\pmod {63}}\end{cases}}} 與 { x ≡ ≡ --> 7 ( mod 2 5 ) x ≡ ≡ --> 2 ( mod 3 2 ) x ≡ ≡ --> 7 ( mod 5 ) x ≡ ≡ --> 23 ( mod 7 ) {\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 7{\pmod {2^{5}}}\\x\equiv 2{\pmod {3^{2}}}\\x\equiv 7{\pmod {5}}\\x\equiv 23{\pmod {7}}\end{cases}}} 同解。

注意求解過程中應(yīng)先檢查同余式組上是否存在矛盾，存在矛盾的同余式組無解。

{ x ≡ ≡ --> 3 ( mod 6 ) x ≡ ≡ --> 4 ( mod 10 ) ? ? --> { x ≡ ≡ --> 1 ( mod 2 ) x ≡ ≡ --> 0 ( mod 3 ) x ≡ ≡ --> 0 ( mod 2 ) x ≡ ≡ --> 4 ( mod 5 ) {\displaystyle {\begin{cases}x\equiv 3{\pmod {6}}\\x\equiv 4{\pmod {10}}\\\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}{\color {Red}x\equiv 1{\pmod {2}}}\\x\equiv 0{\pmod {3}}\\{\color {Red}x\equiv 0{\pmod {2}}}\\x\equiv 4{\pmod {5}}\\\end{cases}}}

參見

哈瑟原則

參考資料

數(shù)學(xué)的100個基本問題，靳平 主編，ISBN 7-5377-2171-8

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