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定理敘述

一維形式

設(shè)f:[a,b]→ → -->C{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} }是可測(cè)函數(shù)，對(duì)任何? ? -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，都存在緊致集E? ? -->[a,b]{\displaystyle E\subset [a,b]}，使得λ λ -->([a,b]? ? -->E){\displaystyle \lambda ([a,b]\setminus E) ，而且f限制到E上是連續(xù)函數(shù)。此處λ λ -勒貝格測(cè)度{\displaystyle \lambda }是勒貝格測(cè)度。

證明

因?yàn)閒可測(cè)，所以在一個(gè)測(cè)度任意小的開(kāi)集以外，f是有界函數(shù)。在開(kāi)集上重定義f為0，那么f在[a,b]上有界，因而是可積函數(shù)。因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在可積函數(shù)的空間L1([a,b]){\displaystyle \mathrm {L} ^{1}([a,b])}中稠密，存在連續(xù)函數(shù)序列g(shù)i{\displaystyle g_{i}}依L1范數(shù)收斂至f，即∫ ∫ -->ab|gi? ? -->f|→ → -->0{\displaystyle \int _{a}^\left|g_{i}-f\right|\to 0}。故此有子序列g(shù)ik{\displaystyle g_{i_{k}}}幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個(gè)測(cè)度任意小的開(kāi)集外，gik{\displaystyle g_{i_{k}}}一致收斂至f。因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)的一致收斂極限仍是連續(xù)的，故此f在此開(kāi)集外連續(xù)。取E為以上兩個(gè)開(kāi)集的并集在[a,b]中的補(bǔ)集，那么原本的f在E上連續(xù)。

多維形式

設(shè)μ μ -->{\displaystyle \mu }是Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}上博雷爾測(cè)度爾測(cè)度，f:Rn→ → -->Rm{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}是μ μ -->{\displaystyle \mu }可測(cè)函數(shù)。X是Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}中的μ μ -->{\displaystyle \mu }可測(cè)集，而且μ μ -->(X){\displaystyle \mu (X) ，那么對(duì)任意? ? -->>0{\displaystyle \epsilon >0}，X中存在緊致集K，使得μ μ -->(X? ? -->K){\d連續(xù)函數(shù)aystyle \mu (X\backslash K) ，而且f限制到K上是連續(xù)函數(shù)。

證明首先，對(duì)每個(gè)正整數(shù)i，構(gòu)造緊致集Ki{\displaystyle K_{i}}和在其上的連續(xù)函數(shù)gi{\displaystyle g_{i}}，使得μ μ -->(X? ? -->Ki)/2i{\displaystyle \mu (X\setminus K_{i}) 且在Ki{\displaystyle K_{i}}上有|f(x)? ? -->gi(x)|<1/i{\displaystyle \left|f(x)-g_{i}(x)\right|{\displaystyle (Y_{ij})直徑j(luò)=1}^{\infty }}，使得每個(gè)集的直徑都小于1/i。函數(shù)f可測(cè)，所以每個(gè)集的原像f? ? -->1(Yij){\displaystyle f^{-1}(Y_{ij})}是可測(cè)集。令Xij=X∩ ∩ -->f? ? -->1(Yij){\displaystyle X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})}，則Xij{\displaystyle X_{ij}}將X分成兩兩不交的可測(cè)集。由于μ μ -->{\displaystyle \mu }是博雷爾正則測(cè)度，且μ μ -->(X){\displaystyle拉東測(cè)度 (X) ，于是μ μ -->{\displaystyle \mu }限制到X上是拉東測(cè)度。由拉東測(cè)度的內(nèi)正則性，在Xij{\displaystyle X_{ij}}中存在緊致子集Kij{\displaystyle K_{ij}}，使得μ μ -->(Xij? ? -->Kij)/2i+j{\displaystyle \mu (X_{ij}\setminus K_{ij}) 所以全部子集Xij? ? -->Kij{\displaystyle X_{ij}\setminus K_{ij}}的不交并集的測(cè)度μ μ -->(X? ? -->? ? -->j=1∞ ∞ -->Kij)/2i{\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij}) 因?yàn)棣?μ -->(X? ? -->? ? -->j=1∞ ∞ -->Kij)=limn→ → -->∞ ∞ -->μ μ -->(X? ? -->? ? -->j=1nKij){\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})}，可以取足夠大的N使得μ μ -->(X? ? -->? ? -->j=1NKij)/2i{\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}) 令Ki=? ? -->j=1NKij{\displaystyle K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}}。有限個(gè)緊致集的并集是緊致集，所以Ki{\displaystyle K_{i}}緊致。因此Ki{\displaystyle K_{i}}滿足要求。對(duì)j=1,..., N，在Yij{\displaystyle Y_{ij}}中任取一點(diǎn)yij{\displaystyle y_{ij}}，并在Kij{\displaystyle K_{ij}}上定義gi(x)=yij{\displaystyle g_{i}(x)=y_{ij}}。因?yàn)樵贙ij{\displaystyle K_{ij}}上，f的值包含在Yij{\displaystyle Y_{ij}}中，故此f和gi{\displaystyle g_{i}}相差小于1/i。而Kij{\displaystyle K_{ij}}是兩兩不交的緊致集，故兩兩間的距離都是正數(shù)，所以gi{\displaystyle g_{i}}在Ki{\displaystyle K_{i}}上是連續(xù)函數(shù)。因此gi{\displaystyle g_{i}}滿足要求。取K=? ? -->i=1∞ ∞ -->Ki{\displaystyle K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}}，K是緊致集，并有μ μ -->(X? ? -->K)≤ ≤ -->∑ ∑ -->i=1∞ ∞ -->μ μ -->(X? ? -->Ki){\displaystyle \mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i}) 函數(shù)列g(shù)i{\displaystyle g_{i}}在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數(shù)的連續(xù)性，所以f在K上連續(xù)。

參考

Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.

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