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簡介

采樣是將一個信號（例如時間或空間上連續(xù)的函數(shù)）轉(zhuǎn)換為數(shù)字序列（時間或空間上離散的函數(shù)）的過程。這個定理的香農(nóng)版本陳述為：

如果函數(shù) x(t) 不包含高于 B cps（次/秒）的頻率，它完全取決于一系列相隔 1/(2 B ) 秒的點的縱坐標(biāo)。

因此 2 B 樣本/秒或更高的采樣頻率就足夠了。相反，對于一個給定的采樣頻率 f s ，完全重構(gòu)的頻帶限制為 B ≤ f s /2。

在頻帶限制過高（或根本沒有頻帶限制）的情形下，重構(gòu)表現(xiàn)出的缺陷稱為混疊?，F(xiàn)在對于此定義的陳述有時會很小心的指出 x ( t )必須不包括頻率恰好為 B 的正弦曲線，或是 B 必須小于?的采樣頻率。這二個門檻，2 B 及 f s /2會稱為 奈奎斯特速率 （ 英語 ： Nyquist rate ） 及奈奎斯特頻率。這些是 x ( t )及采樣設(shè)備的屬性。上述的不等式會稱為奈奎斯特準(zhǔn)則，有時會稱為拉貝準(zhǔn)則（Raabe condition）。此定理也可以用在其他定義域（例如離散系統(tǒng)）的函數(shù)下，唯一的不同是量測 t , f s 和 B 的單位。

正規(guī)化的Sinc函數(shù)：sin(π x ) / (π x ) ...其中央峰值在 x = 0，其他整數(shù)值的 x 時為零交越點

符號 T = 1/ f s 常用來表示二次采樣之間的時間間隔，稱為采樣周期或是采樣區(qū)間。函數(shù) x ( t )的采樣常用 x [ n ] = x ( nT )表示（較早期的文獻(xiàn)會用 x n ），其中 n 為正整數(shù)。在數(shù)學(xué)上理想的采樣還原（插值）和Sinc函數(shù)有關(guān)，每次的采樣都用中心點在采樣時間 nT ，幅度是采樣值 x [ n ]的Sinc函數(shù)代替。最后將Sinc函數(shù)加總，得到連續(xù)的函數(shù)。數(shù)學(xué)上等效的方式是將Sinc函數(shù)和一連串的狄拉克δ函數(shù)卷積，再依采樣到的值來加權(quán)。不過這些方式在數(shù)學(xué)上都是不實際的。不過有些有限長度的函數(shù)可以近似Sinc函數(shù)，這種因為近似的不完美造成的誤差稱為插值誤差（interpolation error）。

實際的數(shù)字模擬變換器既不會產(chǎn)生加權(quán)而有延遲的Sinc函數(shù)，也不會產(chǎn)生理想的狄拉克δ函數(shù)，若是其模擬重建是用 零階保持 （ 英語 ： Zero-order hold ） ，其輸出的是由不同幅度及有延遲的矩形函數(shù)組成的階躍函數(shù)，一般后面會有抗鏡像濾波器（anti-imaging filter）來清除假的高頻成分。

混疊

二個正弦波的頻率不同，但其采樣值相關(guān)，其中至少有一個的頻率超過采樣頻率的一半

如果不能滿足上述采樣條件，采樣后信號的頻率就會重疊，即高于采樣頻率一半的頻率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號。這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊，而重建出來的信號稱為原信號的混疊替身，因為這兩個信號有同樣的樣本值。

若 x ( t )為一函數(shù)，其傅里葉變換 X ( f )為:

泊松求和公式 （ 英語 ： Poisson summation formula ） 指出 x ( t )的采樣 x ( nT )已以產(chǎn)生 X ( f )的 周期和 （ 英語 ： periodic summation ） ，結(jié)果為：

圖4： X ( f )（上圖藍(lán)色部分）及 X A ( f )（下圖藍(lán)色部分）是二個 不同 函數(shù) x ( t )及 x A ( t )（原函數(shù)省略不列出）的連續(xù)傅里葉變換。當(dāng)二個函數(shù)以 f s 的速率采樣時，且確認(rèn)信號的離散傅里葉變換（DTFT）時，其鏡相（image，綠色部分）會和變換后信號（藍(lán)色部分）疊加。在這個假設(shè)的例子中，二函數(shù)的離散傅里葉變換相同，表示 采樣到的信號也相同 ，可是在采樣前的原函數(shù)是不同的。若這是聲音頻號， x ( t )和 x A ( t )聽起來是不一樣的，可是其以 f s 速率的采樣是一樣的，因此最后重制的聲音是相同的， x A ( t )是 x ( t )在此采樣頻率下的混疊（alias）

是一個周期函數(shù)，等效為傅里葉級數(shù)，系數(shù)為 T ? x ( nT )。此函數(shù)也稱為數(shù)列 T ? x ( nT )的離散時間傅里葉變換(DTFT)，n為整數(shù)。

如圖4所示， X ( f ) 的拷貝被平移了 f s 的倍數(shù)，并相加合并。對于一個帶限函數(shù)（對所有 | f | ≥ B ， X ( f ) = 0 ），在 f s 足夠大的時候，這些拷貝之間仍然分得清楚。但如果奈奎斯特準(zhǔn)則并不滿足，相鄰部分就會重疊，一般就不能明確辨別出 X ( f )。任何超過 f s /2 的頻率分量都會與較低的頻率分量難以區(qū)分，稱作與其中一個拷貝發(fā)生“混疊”。在這種情況下，通常的插值法就會產(chǎn)生混疊，而不是原始的分量了。

以下兩種措施可避免混疊的發(fā)生：

提高采樣頻率，使之達(dá)到最高信號頻率的兩倍以上；

引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數(shù)；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器

當(dāng)采樣率預(yù)先由其他因素（如行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)）確定的時候， x ( t ) 通常要先濾波以將高頻分量減少到可以接受的水平，再進(jìn)行采樣。所需的濾波器的種類為低通濾波器，而在這種應(yīng)用中叫做抗混疊濾波器。抗混疊濾波器可限制信號的帶寬，使之滿足采樣定理的條件。這在理論上是可行的，但是在實際情況中不可能做到。因為濾波器不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的信號，所以，采樣定理要求的帶寬之外總有一些“小的”能量。不過抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計。

圖5： X s ( f )是由適當(dāng)帶寬濾波器濾波后的信號，其頻譜（藍(lán)色）和其相鄰的DTFT鏡像（綠色）不會重疊。brick-wall低通濾波器 H ( f )可以移除鏡像，留下原始的頻譜 X ( f )，由采樣后的信號還原為（濾波后）的原始信號

由泊松求和的特例來推導(dǎo)

從圖5中可以看到，若 X ( f )的復(fù)本（也稱為鏡像）之間沒有和 k = 0的項重疊，可以由 X s ( f )用以下的乘積來還原：

此時證明了采樣定理，因此 X ( f )可以確定 x ( t )，而且只有唯一解。

剩下的就只有推導(dǎo)重構(gòu)的公式。 H ( f )不需在 [ B , f s ? B ] 的區(qū)域有準(zhǔn)確的定義，因為 X s ( f )在此區(qū)域為零。不過最壞的情形是 B = f s /2，奈奎斯特頻率。一個在此情形及其他較輕微的條件下都適用的函數(shù)為：

其中rect(?)為矩形函數(shù)，因此：

等式二側(cè)反變換，可以得到 惠特克-香農(nóng)插值公式 （ 英語 ： Whittaker–Shannon interpolation formula ）

上式就是用采樣值 x ( nT )來重構(gòu) x ( t )的方式。

若 f s 大于所需值，也就是 T 較小，稱為過采樣（oversampling），由圖5可以看出過采樣對重構(gòu)信號沒有任何效果，但可以提供一塊“轉(zhuǎn)態(tài)區(qū)”，此區(qū)域內(nèi)的 H ( f )可以是一些非零的值。相反的， 欠采樣 （ 英語 ： Undersampling ） 會造成混疊，一般而言無法重構(gòu)原始信號。

理論上，插值公式可以用低通濾波器來實現(xiàn)，其沖激響應(yīng)為sinc( t / T )，輸入為 ∑ ∑ --> n = ? ? --> ∞ ∞ --> ∞ ∞ --> x ( n T ) ? ? --> δ δ --> ( t ? ? --> n T ) , {\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),} ，即為一個被采樣信號調(diào)制過的 脈沖序列 （ 英語 ： Dirac comb ） 函數(shù)。實際的數(shù)字模擬變換器（DAC）會用 零階保持器 （ 英語 ： zero-order hold ） 來近似，此時過采樣可以減少近似的誤差。

香農(nóng)的原始證明

泊松證明了 Eq.1 中的傅里葉級數(shù)會產(chǎn)生 X ( f ) 的周期求和，不管 f s 和 B 是什么值。然而香農(nóng)只推導(dǎo)了 f s = 2B 情形下級數(shù)的系數(shù)。 幾乎引用了香農(nóng)原始的論文：

香農(nóng)對于此定理的證明已經(jīng)完成了，不過香農(nóng)進(jìn)一步探討用Sinc函數(shù)重構(gòu)原函數(shù)，也就是今日的 惠特克–香農(nóng)內(nèi)插公式 （ 英語 ： Whittaker–Shannon interpolation formula ） ，他沒有推導(dǎo)或是證明sinc函數(shù)的性質(zhì)，但這些對于當(dāng)時閱讀其作品的工程師不會覺得陌生，因為當(dāng)時已經(jīng)知道矩形函數(shù)和Sinc函數(shù)的傅里葉對關(guān)系。

和其他證明類似，此處假設(shè)原函數(shù)的傅里葉變換存在，因此證明中沒有說明采樣定理是否可以延伸到有限帶寬的固定隨機(jī)過程。

腳注

在多變數(shù)信號及圖形上的應(yīng)用

圖6：采樣不足的圖，會出現(xiàn)莫列波紋

圖7

采樣定理常表示為單一變數(shù)的函數(shù)，因此定理可以直接應(yīng)用到和時間相關(guān)的一維信號。不過采樣定理可以直接延伸到任意數(shù)量變數(shù)的函數(shù)。例如像灰階影像常表示為二維的實數(shù)陣列（或是矩陣），其中的實數(shù)表示在對應(yīng)行及列的采樣位置下，像素的相對強(qiáng)度。因此圖案會需要二個獨立的變數(shù)來表示其位置，一個表示對應(yīng)的行，一個表示對應(yīng)的列。

彩色影像一般會包括三個獨立的灰階值，分別表示紅色、綠色及藍(lán)色等三原色（三原色光模式，簡稱RGB）的強(qiáng)度。其他用三個元素的向量表示一個點的顏色空間有HSL和HSV色彩空間、CIELAB及XYZ等。而像CMYK則是用淺藍(lán)色、紫紅色、黃色及黑色的強(qiáng)度來表示。這些色彩空間都是二維空間上的 向量值函數(shù) （ 英語 ： vector-valued function ） 。

和一維離散信號的情形類似，若圖形的采様清晰度（或是像素密度）不適當(dāng)，可能會有混疊的情形。例如密條紋襯衫若是用的數(shù)值若是用數(shù)碼相機(jī)的圖像傳感器采樣時，可能會造成混疊，這種二維的混疊會形成莫列波紋，改善方式是提高空間的采樣率，例如拍照時更靠近襯衫，用高清晰度的感測器，或是在采樣前先進(jìn)行光學(xué)模糊處理。

另一個例子是右邊的方格條紋，上方的圖是不滿足采樣定理下的信號。下方則是先經(jīng)過低通濾波器再降采樣，得到一個較小，但沒有莫列波紋。上圖則是直接降采樣，沒有先經(jīng)過低通處理后的圖。

采樣定理在影像上的應(yīng)用需小心的進(jìn)行。例如相機(jī)中標(biāo)準(zhǔn)影像感測器（CCD或CMOS）的采樣程序和理想的采樣程序有相當(dāng)?shù)牟罹?，理想的采樣程序會在一個點量測其影像強(qiáng)度，但影像感測器中為了獲得足夠的光量，其感測影像的區(qū)域較。換句話說，感測器是一個有限寬度的點擴(kuò)散函數(shù)。一般而言這類感測器采樣到的模擬光學(xué)信息不是有限帶寬的，而不理想的采樣本身即為低通濾波器，不過不一定可以移除會造成混疊的高頻噪聲。若采樣區(qū)域（感測器大?。]有大到可以有反鋸齒效果時，一般會需要獨立的反鋸齒濾鏡（光學(xué)低通濾鏡）來使影像模糊。雖然影像有這些和采樣定理有關(guān)的問題，不過采樣定理可以描述提升采樣及減采樣的基礎(chǔ)。

圖8：一組在臨界頻率的弦波，采様時都是反復(fù)出現(xiàn)的+1和–1，他們都是彼此的混疊信號，甚至其頻率還沒超過采樣頻率的一半

臨界頻率

為了描述 f s > 2 B 的必要性，考慮右圖（圖8）中的一組弦波，公式如下，但θ值各有不同：

其中 f s = 2 B 或是可以寫為 T = 1/(2 B )，采樣值為：

和θ值無關(guān) 。上述的歧義是采樣定理中使用嚴(yán)格的不等式，不允許等式的原因。

對于非基帶信號的采樣

香農(nóng)曾提到 ：

因此這是一個針對沒有基帶成分信號（其頻帶有一部分的信號非零，但此寬度又和最大頻率無關(guān)）進(jìn)行采樣的充份條件。

帶通條件為 X ( f ) = 0，針對在所有在開區(qū)域范圍以外的非負(fù) f ：

針對某非負(fù)整數(shù) N 。此公式包括一般的基帶條件， N =0。

對應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)為理想Sinc帶通濾波器的沖激響應(yīng)，（而不是之前用的理想Sinc低通濾波器），會切掉頻帶的上方及下方，這也是一組低通濾波器沖激響應(yīng)的差：

其他的推廣，例如信號在數(shù)個不連續(xù)的頻帶，也是可行的。甚至是最廣義的采樣定理也不一定有一個可能正確的反例。也就是說無法確定是否只要不滿足采樣定理，就一定會有信號的喪失。不過以工程的角度來看，比較保守的作法是假設(shè)若不滿足采樣定理，就很可能會有信號的喪失。

非均勻采樣

香農(nóng)的采樣定理可以延伸到 非均勻采樣 （ 英語 ： nonuniform sampling ） ，也就是采樣的時間間隔非一定值。非均勻采樣的采樣定理指出針對band-limited的信號，只要平均采樣頻率滿足奈奎斯特條件，就可以從采樣信號完整重建原始信號 。因此雖然均勻采樣在信號重建的算法上比較簡單，但這不是完整重建的必要條件。

非基帶及非均勻采樣的泛用理論是在1967年由亨利·藍(lán)道提出 。簡單的說，藍(lán)道證明了平均采樣率至少需要是信號占據(jù)帶寬的二倍，但前提是已知信號的頻譜及其占據(jù)的帶寬。 在1990年代末期，此研究已延伸到信號占據(jù)帶寬的數(shù)量已知，但實際在頻譜上位置未知的情形 。在2000年代已利用壓縮感知發(fā)展了一個完整的理論。此理論用信號處理的語言寫成，在2009年的論文中發(fā)表 。論文中證明，若頻率的位置未知，則采樣頻率需至少為奈奎斯特準(zhǔn)則的二倍。換句話說，因為不知道光學(xué)頻譜的位置，需要將采樣頻率乘二為代價。注意此最小采樣頻率的要求不一定保證其數(shù)值穩(wěn)定性。

欠采樣

當(dāng)一個信號被 欠采樣 （ 英語 ： Undersampling ） 時，必須滿足采樣定理以避免混疊。為了滿足采樣定理的要求，信號在進(jìn)行減采樣操作前，必須通過一個具有適當(dāng)截止頻率的低通濾波器。這個用于避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。

在奈奎斯特速率以下，有額外限制條件的采樣

奈奎斯特–香農(nóng)采樣定理是對于帶限函數(shù)采樣及重建的充分條件。若是用 惠特克–香農(nóng)內(nèi)插公式 （ 英語 ： Whittaker–Shannon interpolation formula ） 重建原信號，奈奎斯特準(zhǔn)則也是避免混疊的必要條件，因為若采様速率小于信號頻帶限制的二倍，可能有些信號無法正確重建。不過若信號有其他的限制，則奈奎斯特準(zhǔn)則就不是混疊的必要條件了。

像近來在進(jìn)行研究的壓縮感知就是一個利用對信號額外假設(shè)來進(jìn)行壓縮的例子，壓縮感知可以用奈奎斯特速率要慢的速率采樣，然后可以完整的重建原信號。這特別用在信號在一些層面較稀疏（或可壓縮）的情形。像壓縮感知可以處理有效帶寬（EB)）很低，但不確定其頻率分布位置的信號（此時采樣定理就不適用了）。換句話說，其頻譜較稀疏。若用采樣定理，最小的采樣速率是2 B ，若是用壓縮感知，采樣速率若略低于2EB，仍可以完整的重建。不過此作法的重建已不再是用公式處理，而是要求解凸優(yōu)化，需要有良好研究，而可能是非線性的方式處理。

相關(guān)條目

巴里安-羅定理 （ 英語 ： Balian–Low theorem ） ，類似的采樣頻率理論下限，但應(yīng)用在時頻分析中。

張-馬克斯定理 （ 英語 ： Cheung–Marks theorem ） 說明何時依采樣定理重建的信號會是病態(tài)的。

香農(nóng)定理

奈奎斯特ISI判準(zhǔn) （ 英語 ： Nyquist ISI criterion ）

零交越重建 （ 英語 ： Reconstruction from zero crossings ）

零階保持器 （ 英語 ： Zero-order hold ）

參考資料

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