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證明

羅爾定理的幾何意義

首先，因?yàn)閒{\displaystyle f}在閉區(qū)間[a,b]{\displaystyle [a,b]}上連續(xù)，根據(jù)極值定理，f{\displaystyle f}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端點(diǎn)a{\displaystyle a}或b{\displaystyle b}處取得，由于f(a)=f(b){\displaystyle f(a)=f(b)}，f{\displaystyle f}顯然是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。那么對(duì)于任一點(diǎn)ξ ξ -->∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle \xi \in (a,b)}，我們都有f′ ′ -->(ξ ξ -->)=0{\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0}。

現(xiàn)在假設(shè)f{\displaystyle f}在ξ ξ -->∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle \xi \in (a,b)}處取得最大值。我們只需證明f{\displaystyle f}在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零。

取x∈ ∈ -->(a,ξ ξ -->){\displaystyle x\in (a,\xi )}，由最大值定義f(ξ ξ -->)≥ ≥ -->f(x){\displaystyle f(\xi )\geq f(x)}，那么f(x)? ? -->f(ξ ξ -->)x? ? -->ξ ξ -->≥ ≥ -->0{\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0}。令x→ → -->ξ ξ -->? ? -->{\displaystyle x\rightarrow \xi ^{-}}，則limx→ → -->ξ ξ -->? ? -->f(x)? ? -->f(ξ ξ -->)x? ? -->ξ ξ -->≥ ≥ -->0{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \xi ^{-}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\geq 0}。因?yàn)閒{\displaystyle f}在ξ ξ -->{\displaystyle \xi }處可導(dǎo)，所以我們有f′(ξ ξ -->)≥ ≥ -->0{\displaystyle f"(\xi )\geq 0}。

取x∈ ∈ -->(ξ ξ -->,b){\displaystyle x\in (\xi ,b)}，那么f(x)? ? -->f(ξ ξ -->)x? ? -->ξ ξ -->≤ ≤ -->0{\displaystyle {\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0}。這時(shí)令x→ → -->ξ ξ -->+{\displaystyle x\rightarrow \xi ^{+}}，則有l(wèi)imx→ → -->ξ ξ -->+f(x)? ? -->f(ξ ξ -->)x? ? -->ξ ξ -->≤ ≤ -->0{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \xi ^{+}}{\frac {f(x)-f(\xi )}{x-\xi }}\leq 0}，所以f′(ξ ξ -->)≤ ≤ -->0{\displaystyle f"(\xi )\leq 0}。

于是，f′(ξ ξ -->)=0{\displaystyle f"(\xi )=0}。

f{\displaystyle f}在ξ ξ -->∈ ∈ -->(a,b){\displaystyle \xi \in (a,b)}處取得最小值的情況同理。

例子

第一個(gè)例子

半徑為r的半圓

考慮函數(shù)

（其中r > 0。）它的圖像是中心位于原點(diǎn)的半圓。這個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[?r,r]內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間(?r,r)內(nèi)可導(dǎo)（但在終點(diǎn)?r和r處不可導(dǎo)）。由于f(?r) = f(r)，因此根據(jù)羅爾定理，存在一個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。

第二個(gè)例子

絕對(duì)值函數(shù)的圖像

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)不可導(dǎo)，則羅爾定理的結(jié)論不一定成立。對(duì)于某個(gè)a > 0絕對(duì)值絕對(duì)值函數(shù)：

那么f(?a) = f(a)，但?a和a之間不存在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。這是因?yàn)?，函?shù)雖然是連續(xù)的，但它在點(diǎn)x = 0不可導(dǎo)。注意f的導(dǎo)數(shù)在x = 0從-1變?yōu)?，但不取得值0。

推廣形式

第二個(gè)例子表明羅爾定理下面的一般形式：

考慮一個(gè)實(shí)值，在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并滿足f(a) = f(b).如果對(duì)開區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意x，右極限

而左極限

在擴(kuò)展的實(shí)數(shù)軸[?∞,∞]上存在，那么開區(qū)間(a,b)內(nèi)就存在c使得這兩個(gè)極限

f′(c+){\displaystyle f"(c+)\quad }和f′(c? ? -->){\displaystyle \quad f"(c-)}

中其中一個(gè)≥ 0，另一個(gè)≤ 0（在擴(kuò)展的實(shí)數(shù)軸上）。如果對(duì)任何x左極限和右極限都相同，那么它們對(duì)c也相等，于是在c處f的導(dǎo)函數(shù)存在且等于零。

參見

中值定理

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