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劉維爾方程

劉維爾方程描述了相空間分布函數(shù)（盡管數(shù)學(xué)中準(zhǔn)確術(shù)語是測(cè)度，物理學(xué)家一般稱為分布）的時(shí)間演變?？紤]一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)具有正則坐標(biāo)qi{\displaystyle q_{i}} 與共軛動(dòng)量pi{\displaystyle p_{i}}，這里i=1,… … -->,d{\displaystyle i=1,\dots ,d}。則相空間分布 ρ ρ -->(p,q){\displaystyle \rho (p,q)} 確定了系統(tǒng)在無窮小相空間體積 ddqddp{\displaystyle d^bonf3eeq\,d^xcbgltop} 現(xiàn)的概率 ρ ρ -->(p,q)ddqddp{\displaystyle \rho (p,q)\,d^seuan0vq\,d^tfq7hiap}。劉維爾方程（Liouville equation）決定了 ρ ρ -->(p,q;t){\displaystyle \rho (p,q;t)} 關(guān)于時(shí)間 t{\displaystyle t} 的演化：

時(shí)間導(dǎo)數(shù)用點(diǎn)標(biāo)記，根據(jù)這個(gè)系統(tǒng)的哈密頓方程求值。這個(gè)方程說明了相空間中密度的保守性（該定理得名于約西亞·吉布斯）。劉維爾定理斷言

這個(gè)定理的一個(gè)簡(jiǎn)單證明是觀察到 ρ ρ -->{\displaystyle \rho } 的演化由連續(xù)性方程清晰地給出：

即 (ρ ρ -->,ρ ρ -->q˙ ˙ -->i,ρ ρ -->p˙ ˙ -->i){\displaystyle (\rho ,\rho {\dot {q}}^{i},\rho {\dot {p}}_{i})} 是一個(gè)保守流。注意到此式與劉維爾方程的差是

這里 H{\displaystyle H} 是哈密頓量，并利用了哈密頓方程。這就是說，若將相空間中的運(yùn)動(dòng)視為系統(tǒng)點(diǎn)的一個(gè)流體，注意到相空間中的速度場(chǎng) (p˙ ˙ -->,q˙ ˙ -->){\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q散度)} 的散度為零（由哈密頓方程得出），由連續(xù)性方程得出密度 dρ ρ -->/dt{\displaystyle d\rho /dt} 的隨流導(dǎo)數(shù)（英語：convective derivative）等于零的定理。

另一個(gè)證明是考慮通過相空間中的一朵“點(diǎn)云”的軌跡。直接證明這朵云沿著一個(gè)坐標(biāo)方向拉伸比如 pi{\displaystyle p_{i}}，則在對(duì)應(yīng)的 qi{\displaystyle q^{i}} 方向收縮，從而乘積 Δ Δ -->piΔ Δ -->qi{\displaystyle \Delta p_{i}\Delta q^{i}} 保持不變。

等價(jià)地，由諾特定理，保守流的存在意味著有一個(gè)對(duì)稱。對(duì)稱在時(shí)間轉(zhuǎn)換下不變，而這個(gè)對(duì)稱的生成元（或諾特荷）是哈密頓量。

物理解釋

所期望的粒子總數(shù)是分布在相空間上的積分：

習(xí)慣上相空間測(cè)度有一個(gè)正規(guī)化因子，但此處將其忽略。在簡(jiǎn)單情形，一個(gè)非相對(duì)論粒子在力場(chǎng)F{\displaystyle \mathbf {F} } 下在歐幾里得空間運(yùn)動(dòng)，具有坐標(biāo) x{\displaystyle \mathbf {x} } 與動(dòng)量 p{\displaystyle \mathbf {p} }，劉維爾定理可以寫成

這不同于符拉索夫方程（英語：Vlasov equation），或有時(shí)天體力學(xué)中的玻爾茲曼方程。后者有六維相空間，用于描述大量無碰撞粒子在引力或電磁場(chǎng)的影響下的運(yùn)動(dòng)。

在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中，粒子數(shù) N{\displaystyle N} 非常大（譬如：對(duì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)室規(guī)模系統(tǒng)為阿伏伽德羅常數(shù)數(shù)量級(jí)）。令 ? ? -->ρ ρ -->/? ? -->t=0{\displaystyle \partial \rho /\partial t=0} 給出了這個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)的一個(gè)方程，可用來尋找在一個(gè)給定的統(tǒng)計(jì)系綜中可達(dá)到的微觀態(tài)。穩(wěn)定狀態(tài)方程由 ρ ρ -->{\displaystyle \rho } 等于哈密頓量 H{\displaystyle H} 的任何函數(shù)滿足：特別地，它由麥克斯韋-玻爾茲曼分布ρ ρ -->∝ ∝ -->e? ? -->H/kT{\displaystyle \rho \propto e^{-H/kT}} 滿足，這里溫度{\displaystyle T} 是溫度k{\displaystyle k} 是玻爾茲曼常數(shù)。

另見正則系綜與微正則系綜。

其他表述

泊松括號(hào)

此定理經(jīng)常用泊松括號(hào)表述為

或利用劉維爾算子（Liouville operator 或 Liouvillian）

寫成

遍歷論

在遍歷論與動(dòng)力系統(tǒng)中，由目前給出的物理考慮啟發(fā)，有相應(yīng)的結(jié)果也稱為劉維爾定理。在哈密頓力學(xué)中，相空間是一個(gè)自然賦有一個(gè)光滑測(cè)度的光滑流形（局部這個(gè)測(cè)度是 6n-維勒貝格測(cè)度）。該定理說這個(gè)光滑測(cè)度在哈密頓流下不變。更一般地，我們可以描述一個(gè)光滑測(cè)度在一個(gè)流下不變的充分必要條件。哈密頓力學(xué)情形便是一個(gè)推論。

辛幾何

在辛幾何方面，此定理斷言辛結(jié)構(gòu)（2-形式，由 Δ Δ -->pi{\displaystyle \Delta p_{i}} 與 Δ Δ -->qi{\displaystyle \Delta q_{i}} 的楔積之和組成）的 d 次冪在其哈密頓演化下的李導(dǎo)數(shù)為零。辛結(jié)構(gòu)的 d 次冪就是相空間中上面所說的測(cè)度。

事實(shí)上，辛結(jié)構(gòu)自身（不僅是 d 次冪）也不變。因此，在這種情形下，辛結(jié)構(gòu)也稱為龐加萊不變量。從而關(guān)于龐加萊不變量的定理是劉維爾定理的推廣。

還可以進(jìn)一步推廣。在不變哈密頓形式化的框架下，不變相空間中的辛結(jié)構(gòu)的存在性定理是關(guān)于龐加萊不變量定理的一個(gè)深入推廣。

量子力學(xué)

劉維爾方程在量子力學(xué)中的類比描述了一個(gè)混合態(tài)的時(shí)間演化。正則量子化得出這個(gè)定理的一個(gè)量子力學(xué)版本。這個(gè)過程利用哈密頓力學(xué)描述經(jīng)典系統(tǒng)，經(jīng)常用于產(chǎn)生經(jīng)典系統(tǒng)的量子類比。經(jīng)典變量重新解釋為量子算子，而泊松括號(hào)用交換子代替。在這種情形，所得方程是

這里 ρ 是密度矩陣。

將其應(yīng)用到一個(gè)可觀測(cè)量的期望值，相應(yīng)的方程由埃倫費(fèi)斯特定理給出，具有形式

這里 A{\displaystyle A} 是一個(gè)可觀測(cè)量。注意符號(hào)不同，這由算子的穩(wěn)定性與狀態(tài)時(shí)間相關(guān)之假設(shè)得出。

注釋

劉維爾方程對(duì)平衡與非平衡系統(tǒng)都成立。這是非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本方程。它對(duì)碰撞系統(tǒng)的逼近稱為玻爾茲曼方程。

劉維爾方程積分變?yōu)闈q落定理的證明，由此可推出熱力學(xué)第二定律。它也是線性傳播系數(shù)（比如切變粘性、熱傳導(dǎo)率或電傳導(dǎo)率）的格林-久保關(guān)系的推導(dǎo)關(guān)鍵部分。

事實(shí)上任何哈密頓力學(xué)，高等統(tǒng)計(jì)力學(xué)或辛幾何的教材中都會(huì)推導(dǎo)劉維爾定理。

參考文獻(xiàn)

В.И.阿諾爾德，著. 齊民友，譯. 經(jīng)典力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法（第4版）. 北京：高等教育出版社，2006年1月.

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