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性質

Cn的另一個表達形式為Cn=(2nn)? ? -->(2nn+1) for n≥ ≥ -->1{\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}\quad {\mbox{ for }}n\geq 1} 所以，Cn是一個自然數；這一點在先前的通項公式中并不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。（見下文的第二個證明。）

遞推關系

它也滿足

這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡塔蘭數的漸近增長為

它的含義是當n → ∞時，左式除以右式的商趨向于1。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）

所有的奇卡塔蘭數Cn都滿足n=2k? ? -->1{\displaystyle n=2^{k}-1}。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。

應用

組合數學中有非常多的組合結構可以用卡塔蘭數來計數。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用n=3和n=4舉若干例：

Cn表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的前綴字串皆滿足X的個數大于等于Y的個數。以下為長度為6的dyck words:

將上例的X換成左括號，Y換成右括號，Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數：

Cn表示有n個節(jié)點組成不同構二叉樹的方案數。下圖中，n等于3，圓形表示節(jié)點，月牙形表示什么都沒有。

Cn表示有2n+1個節(jié)點組成不同構滿二叉樹（full binary tree）的方案數。下圖中，n等于3，圓形表示內部節(jié)點，月牙形表示外部節(jié)點。本質同上。

證明：

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多于1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進制數共有(2nn){\displaystyle {2n \choose n}}個，下面考慮不滿足要求的數目。

考慮一個含n個1、n個0的2n位二進制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則后面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以后的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的二進制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。

從而Cn=(2nn)? ? -->(2nn+1)=1n+1(2nn){\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}}。證畢。

Cn表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發(fā)，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價于計算Dyck word的個數：X代表“向右”，Y代表“向上”。下圖為n = 4的情況：

Cn表示通過連結頂點而將n + 2邊的凸多邊形分成三角形的方法個數。下圖中為n = 4的情況：

Cn表示對{1, ..., n}依序進出棧的置換個數。一個置換w是依序進出棧的當S(w) = (1, ..., n),其中S（w）遞歸定義如下：令w = unv，其中n為w的最大元素，u和v為更短的數列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S為所有含一個元素的數列的單位元。

Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉劃分的個數.那么, Cn永遠不大于第n項貝爾數. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉劃分的個數，其中每個段落的長度為2。綜合這兩個結論，可以用數學歸納法證明：在 魏格納半圓分布定律 中度數大于2的情形下，所有 自由的累積量s 為零。 該定律在 自由概率論 和隨機矩陣理論中非常重要。

Cn表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。下圖為n = 4的情況：

Cn表示表為2×n的矩陣的標準楊氏矩陣的數量。 也就是說，它是數字 1, 2, ..., 2n 被放置在一個2×n的矩形中并保證每行每列的數字升序排列的方案數。同樣的，該式可由勾長公式的一個特殊情形推導得出。

Cn表示n個無標號物品的半序的個數。

漢克爾矩陣

無論n的取值為多少，n×n的漢克爾矩陣:Ai,j=Ci+j? ? -->2. {\displaystyle A_{i,j}=C_{i+j-2}.\ }的行列式為1。例如，n = 4 時我們有

進一步，無論n的取值為多少，如果矩陣被移動成Ai,j=Ci+j? ? -->1. {\displaystyle A_{i,j}=C_{i+j-1}.\ }，它的行列式仍然為1。 例如，n = 4 時我們有

同時，這兩種情形合在一起唯一定義了卡塔蘭數。

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