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性質(zhì)Cn的另一個表達形式為Cn=(2nn)??-->(2nn+1)forn≥≥-->1{\displaystyleC_{n}={2n\choosen}-{2n\choosen+1}\quad{\mbox{for}}n\geq1}所以，Cn是一個自然數(shù)；這一點在先前的通項公式中并不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎(chǔ)。（見下文的第二個證明。）遞推關(guān)系它也滿足這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數(shù)。卡塔蘭數(shù)的漸近增長為它的含義是當n→∞時，左式除以右式的商趨向于1。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）所有的奇卡塔蘭數(shù)Cn都滿足n=2k??-->1{\displaystylen=2^{k}-1}。所有其他的卡塔蘭數(shù)都是偶數(shù)。應(yīng)用組合數(shù)學中有非常多的組合結(jié)構(gòu)可以用卡塔蘭數(shù)來計數(shù)。在RichardP.Stanley的EnumerativeCombinatoric...

腳注

歷史起源這種音樂形式起源于文藝復興時期的意大利北部。1590年代，已經(jīng)有一批觸技曲問世。之后，作曲家將這種音樂形式帶到了德國。在那里，觸技曲的發(fā)展達到了頂峰，其標志為約翰·塞巴斯蒂安·巴哈的d小調(diào)觸技曲與賦格曲BWV565。巴洛克時期巴洛克時期中最有名的觸技曲作家可說是約翰·塞巴斯蒂安·巴赫。巴赫的觸技曲是這種音樂形式中的經(jīng)典之作。這些管風琴作品都是即興作品，通常伴隨著一段獨立的賦格。在這種情況下，觸技曲代替了一般的固定的序曲。他的羽管鍵琴作品通常有多個樂章，由賦格形式寫成。浪漫時期巴洛克時期之后,觸技曲漸漸減少。在浪漫時期中最有名的觸技曲是羅伯特·舒曼和李斯特·費倫茨分別作的觸技曲。他們的觸技曲被廣泛地評為十八世紀中技術(shù)最難和最倶代表性。李斯特后期的托卡塔曲極短的和嚴峻，而且規(guī)模較小，有時亦被稱為“toc...

參考